Апология математики (сборник статей)

25. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы и их применения: Учеб. пособие. – Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1985. – 86 с.

26. Уроки открывает беседа с математиком Л. Понтрягиным: Интервью академика Л. С. Понтрягина «Учительской газете» // Учительская газета. 1985. 23 мая.

27. Cantor G. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1878. Bd. 84. S. 242–258. (Русский перевод см. в работе [30, с. 22–35].)

28. Cantor G. Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten. Nr. 6 // Mathematische Annalen. 1884. Bd. 23. H. 4. S. 453–488. (Русский перевод см. в работе [30, с. 106–139].)

29. Cantor G. Gesammelte Abhandlungen. Berlin: Springer, 1932. 486 S.

30. Кантор Г. Труды по теории множеств / Пер. с нем. Ф. А. Медведева, П. С. Юшкевича; Отв. редакторы А. Н. Колмогоров, А. П. Юшкевич. – М.: Наука, 1985. – 430 с.

31. Cox D. A. Introduction to Fermat's Last Theorem // American Mathematical Monthly. 1994. Jan. Pp. 3–14.

32. Сингх С. Великая теорема Ферма / Пер. с англ. – М.: МЦНМО, 2000. – 288 с. (Оригинальное издание: Singh S. Fermat's Last Theorem. L.: Fourth Estate, 1997.)

33. Thomas R. An update on the Four-Color Theorem // Notices of the American Mathematical Society. 1998. Vol. 45. № 7. Pp. 848–859.

34. Самохин А. В. Проблема четырёх красок: неоконченная история доказательства // Соросовский образовательный журнал. 2000. Т. 6. № 7 (56). С. 91–96.

Приложение Проблема континуума и языки второго порядка

На языке второго порядка можно написать такую систему аксиом, что наличие или отсутствие у неё модели будет равносильно соответственно подтверждению или опровержению континуум-гипотезы. А если соединить все эти аксиомы знаком конъюнкции, то возникнет формула второго порядка, которая тогда и только тогда имеет модель, когда континуум-гипотеза справедлива; такая формула и была обещана в главе 4, в конце четвёртого размышления. Указанную систему аксиом мы и намерены выписать в настоящем приложении.

Пусть множество M обладает следующими свойствами: 1) его мощность континуальна; 2) в нём выделено некоторое такое подмножество Q счётно-бесконечной мощности, что всякое подмножество множества, содержащее, в свою очередь, Q в качестве подмножества, имеет мощность либо счётно-бесконечную, либо континуальную. Легко проверить, что возможность такого множества равносильна подтверждению континуум-гипотезы. Поэтому всякое такое M временно условимся называть подтверждающим. Наша цель – выписать систему аксиом, задающую подтверждающее множество. Для этого мы воспользуемся следующей теоремой из теории упорядоченных множеств: всякое линейно упорядоченное множество, обладающее плотным в нём счётно-бесконечным подмножеством и такое, что любое его сечение дедекиндово, имеет мощность континуума. (Напомним, что сечением линейно упорядоченного множества называется такое его разбиение на два класса, нижний и верхний, что любой элемент нижнего класса предшествует любому элементу верхнего класса. Сечение называется дедекиндовым, если либо в нижнем классе есть наибольший элемент, либо в верхнем классе есть наименьший элемент, но не то и другое вместе.) Система аксиом, которую мы собираемся выписать, как раз и задаст нам в качестве подтверждающего такое линейно упорядоченное множество, причём в роли Q выступит подмножество, плотное в M. (Подмножество A упорядоченного множества B называется плотным в B, коль скоро для любых двух различных элементов из B найдётся элемент из A, расположенный между ними.)

Но прежде чем выписывать аксиомы, необходимо указать сигнатуру. Наша сигнатура имеет четыре члена. Она состоит из константы «0Q», имени «Q» одноместного отношения (т. е. свойства), имени двуместного отношения и имени «'» одноместной операции. Об этих членах сигнатуры не требуется знать ничего, кроме того, что будет записано в аксиомах.

Как известно, носителем модели называется множество её элементов. Все операции и отношения модели считаются заданными на её носителе.

Начнём выписывать аксиомы, попутно их комментируя.

Аксиомы H1–H3 утверждают, что отношение представляет собою строгий линейный порядок, определённый на носителе модели. Таким образом, этот носитель оказывается линейно упорядоченным множеством.

Аксиома H4 утверждает, что линейный порядок на носителе является дедекиндовым. (Сечение образуется областями истинности свойств P и ¬P.)

Аксиома H5 утверждает, что между любыми двумя элементами носителя найдётся элемент из области истинности свойства Q (т. е. из множества тех элементов носителя модели, которые обладают этим свойством). Иначе говоря, аксиома утверждает, что эта область плотна в носителе.