Апология математики (сборник статей)

Что касается Бойаи, то открытие им неевклидовой геометрии привело его к повреждению в психике. Судя по всему, он был довольно амбициозен. Янош с детства был весьма одарён и рос вундеркиндом. В 13 лет он овладел дифференциальным и интегральным исчислением и аналитической механикой. Он играл на скрипке и говорил на девяти иностранных языках, в том числе на китайском и на тибетском. Окончив в 1822 г. обучение в венской Инженерной академии (пройдя за четыре года семилетний курс), он в сентябре 1823 г. поступил в инженерные войска; на военной службе пробыл 11 лет и имел славу лучшего фехтовальщика и танцора во всей австро-венгерской армии. При этом он никогда не курил и не пил ничего крепкого, даже кофе. Ни одного достоверного портрета Яноша Бойаи до нас не дошло.

Создавать неевклидову геометрию Бойаи начал в 17 лет, а 3 ноября 1823 г. написал отцу, что открыл удивительные вещи, сотворил другой, новый мир. Но лишь в 1832 г. результаты исследований Бойаи были опубликованы – как тогда было принято, на латыни. Полное название единственного (!) опубликованного сочинения Бойаи таково: «Appendix. Scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica» [ «Приложение. Содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности и ложности XI аксиомы Евклида[65] (что априори никогда решено быть не может); с прибавлением к случаю ложности геометрической квадратуры круга»]. «Математический энциклопедический словарь» (М., 1988, с. 669) отмечает, что изложение «отличается крайней сложностью и схематичностью, но по продуманности каждого слова и обозначения принадлежит к числу наиболее совершенных произведений математической литературы». Указанные сложность и схематичность, а также чрезвычайная сжатость (изложение занимало 24 с.) явно не способствовали популяризации идей Бойаи: надо было быть Гауссом, чтобы их понять. Кроме того, трактат не вышел отдельным изданием, а был опубликован в качестве приложения к книге Бойаи-старшего (отсюда и общепринятое краткое название – Appendix, т. е. «Приложение»). Не получив публичной поддержки Гаусса да ещё и узнав о его заявлении, что сообщённое ему открытие он сделал раньше, младший Бойаи впал в полное отчаяние. Он заподозрил Гаусса в попытке украсть его результаты и присвоить приоритет. Но сильнейший удар ждал его впереди. В 1848 г. Бойаи ознакомился с упомянутым выше сочинением Лобачевского Geometrische Untersuchungen, из первых же строк которого явствовало, что русский математик обнародовал неевклидову теорию раньше, в 1829 г. Это доконало Яноша. Он даже заподозрил, что Лобачевский – вымышленное лицо, выдумка хитроумного интригана Гаусса. Это уже был явный симптом психического нездоровья, на которое сдержанно намекает «Математический энциклопедический словарь»: «Открытия Бойаи при жизни признания не получили, что отразилось на его психике».

В геометрии Лобачевского – Бойаи много непривычного для нас, воспитанных на учении Евклида. Например, сумма углов своя у каждого треугольника, и притом она всегда меньше 180°. Достаточно взглянуть на утверждение, использованное Лежандром, и другие приведённые выше равносильные формулировки аксиомы о параллельных, чтобы осознать: ни одно из них не имеет места в гиперболической геометрии (хотя все другие аксиомы евклидовой геометрии выполняются). Вот какое суждение высказал Гаусс в упомянутом письме Тауринусу от 8 ноября 1824 г.:

Предположение, что сумма углов треугольника меньше чем 180°, приводит к странной геометрии, совершенно отличной от нашей, но совершенно непротиворечивой. ‹…› Три угла треугольника становятся сколь угодно малыми, если только стороны взять достаточно большими, хотя площадь треугольника никогда не может превзойти и даже достигнуть некоторого предела, сколько бы большими ни были стороны.

Кажется естественным вопрос, какая же из аксиом всё-таки истинна – Евклида или Лобачевского. Тот раздел труда Лобачевского «О началах геометрии», который был опубликован в 1830 г. в части XVIII «Казанского вестника» (с. 251–283), начинается такими словами, в которых мы изменили лишь орфографию и пунктуацию: