Апология математики (сборник статей)

Вообще, в каждое рассуждение, объявляемое доказательством аксиомы о параллельных, незаметно вкрадывалось какое-нибудь геометрическое утверждение, не вызывающее, казалось бы, никаких сомнений, но на самом деле равносильное этой аксиоме. Например, в «доказательстве» знаменитого французского математика XVIII–XIX вв. Лежандра использовалось такое вроде бы невинное предложение: через любую точку внутри угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла. Оказалось, что это предложение равносильно аксиоме о параллельных: мало того, что оно опирается на эту аксиому, её можно из этого предложения вывести.

Известно много других равносильных формулировок аксиомы о параллельных. Многие из них выглядят совершенно очевидными – гораздо более очевидными, чем те, что были предложены Евклидом и Проклом. Вот некоторые из них.

1. Существует хотя бы один прямоугольник, т. е. такой четырёхугольник, у которого все углы прямые.

2. Существуют подобные, но не равные[59] треугольники.

3. Любую фигуру можно пропорционально увеличить.

4. Существует треугольник сколь угодно большой площади.

5. Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую – сближаются.

6. Сумма углов одинакова у всех треугольников.

7. Существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.

8. Существуют параллельные прямые, причём две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу.

9. Существуют параллельные прямые, при этом всякая прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.

10. Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность.

11. Справедлива теорема Пифагора.

12. Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.

13. Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться.

Последние две формулировки принадлежат знаменитому персидскому математику и философу XI–XII вв. Омару Хайяму, в России более известному в качестве поэта.

С большим трудом в сознание математиков проникало убеждение, что, скорее всего, утверждение, сформулированное в аксиоме о параллельных, вообще нельзя доказать. Осознать это было трудно ещё и потому, что вплоть до самого конца XIX в. какой-либо чёткой системы аксиом геометрии вообще не существовало. Для аксиомы о параллельных решающим оказалось третье десятилетие XIX в. В этот период два великих геометра – российский математик Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) и венгерский математик Янош Бóйаи[60] (Bolyai János, 1802–1860) – совершенно независимо друг от друга построили геометрическую теорию, основанную на отрицании аксиомы о параллельных. Эту теорию за рубежом, как правило, называют геометрией Лобачевского – Бойаи (по-английски Bolyai – Lobachevskian geometry), а в России – геометрией Лобачевского (предполагаю, что в Венгрии она называется геометрией Бойаи). У неё есть и «обезличенное» название – гиперболическая геометрия.

Надо сказать, что гениальность Лобачевского и Бойаи была признана только после их смерти, после признания созданной ими неевклидовой геометрии, отрицающей ту общепринятую евклидову аксиому о параллельных, которая была сформулирована выше. Свершившись, это признание произвело переворот не только в математике, но и в философии. Во-первых, была признана возможность развития гиперболической геометрии в качестве теории столь же содержательной и непротиворечивой, как и геометрия Евклида; и это развитие уже произошло. Во-вторых, признали теоретическую возможность того, что гиперболическая геометрия реализуется в окружающем нас физическом пространстве.