Апология математики (сборник статей)

Получив указанный выше ответ, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. (Если даже клаузула «и лежат в одной плоскости» не будет произнесена, этому не следует придавать значения: её необходимость понимают все.) Многие сразу же осознают: тут что-то не так, ибо не может же аксиома заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймёт этого сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее, что аксиома о непересекаемости непересекающихся прямых имеет право на существование. С представителями этого меньшинства договориться трудно: разговор происходит на разных языках. (Ведь параллельные прямые и в самом деле не пересекаются. «А как насчёт такой аксиомы: всякий зелёный предмет является зелёным?» – спрашивал я. «Аксиома как аксиома, – отвечали мне представители меньшинства. – Вот если б вы сказали, что всякий зелёный предмет является красным, тогда другое дело».)

Замечательно, что ложная формулировка аксиомы о параллельных (параллельные прямые не пересекаются) получила интернациональное распространение. В этом несколько неожиданном обстоятельстве автор убедился следующим образом. В марте 2006 г. на симпозиуме в Пекине, посвящённом проблемам математического образования, я рассказал о своих наблюдениях относительно аксиомы о параллельных – наблюдениях, сделанных на русскоязычном материале. Среди присутствовавших был американский профессор математики Веллеман (Daniel J. Velleman) из довольно известного Амхерст-колледжа (Amherst College), что в штате Массачусетс. В тот же день он спросил свою жену Шелли (Shelley L. Velleman), бакалавра и магистра нескольких гуманитарных наук, приехавшую вместе с ним в Пекин, в чём состоит аксиома о параллельных прямых. И получил ответ: «В том, что параллельные прямые не пересекаются». Тогда он спросил, а что такое параллельные прямые. Ответом ему был хохот: супруга профессора сразу же поняла бессмысленность своего ответа. Итак, хотя бы в этой детали русская и американская мифологические картины мира оказались одинаковы.

Но сюжет с параллельными прямыми на этом не заканчивается. Респондента, осознавшего абсурдность его ответа, можно спросить, в чём же всё-таки состоит аксиома о параллельных. На этом этапе вы, скорее всего, получите такой ответ: «Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести прямую, параллельную этой заданной прямой». Это уже значительно лучше, потому что такой ответ всего лишь неверен, но уже не абсурден. Неверен же ответ потому, что представляет собою не аксиому, а теорему. (Теорема эта доказывается чрезвычайно просто: надо сперва из точки опустить перпендикуляр на заданную прямую, а затем из той же точки восставить перпендикуляр к опущенному перпендикуляру; тогда заданная прямая и восставленный перпендикуляр будут перпендикулярны к одной и той же прямой, а именно к опущенному перпендикуляру, и потому параллельны.) Подлинный же смысл аксиомы о параллельных не разрешительный, а запретительный: она утверждает не то, что нечто сделать можно, а то, что чего-то сделать нельзя, что чего-то не существует. Вот её правильная формулировка: через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой. (Проницательный читатель усмотрит здесь аналогию с восемью из первых десяти поправок к американской конституции, известных в своей совокупности под названием «Билль о правах». В этих восьми поправках свободы формулируются в терминах запретов: «конгресс не должен…» – в первой поправке, «ни один солдат не должен…» – в третьей поправке и т. п.) Причина искаженного восприятия аксиомы о параллельных, на наш взгляд, заключается в следующем. В средней школе для простоты обычно вдалбливают формулировку «можно провести одну и только одну прямую», не заостряя внимания на том, что оборот «можно провести» выражает здесь теорему, а «можно провести одну и только одну» – аксиому. В результате в сознании остаётся более простая идея о возможности, а более сложная (и более глубокая) идея о единственности теряется.

Учение о параллельных – основа геометрии Лобачевского. Чем эта геометрия отличается от обычной, евклидовой, будет сказано несколькими абзацами ниже. А пока констатируем, что Лобачевский, возможно, единственный российский математик, присутствующий в общественном сознании (а если брать всех математиков, а не только российских, то, скорее всего, один из двух; другой – Пифагор). Его место закреплено в поэзии: «Пусть Лобачевского кривые / Украсят города / Дугою…», «И пусть пространство Лобачевского / Летит с знамён ночного Невского», – призывает Хлебников в поэме «Ладомир». Бродский в стихотворении «Конец прекрасной эпохи» не призывает, но констатирует: