Апология математики (сборник статей)

Вот теперь мы можем сказать, что континуальная мощность больше счётной. В самом деле, эти мощности различны, но в континуальном множестве действительных чисел можно выделить счётную часть, например натуральный ряд. Счётную часть можно выделить в любом бесконечном множестве, поэтому счётная мощность – наименьшая из всех бесконечных мощностей. Одна из замечательных теорем Кантора утверждает, что количество всевозможных частей какого-либо множества всегда больше, чем количество элементов в самом этом множестве. (Читатель легко проверит этот факт для конечных множеств; надо только не забыть учесть пустую часть и часть, совпадающую со всем множеством.) В частности, количество всех частей натурального ряда больше счётного количества натуральных чисел, оно несчётно. А количество всех частей прямой линии больше континуального количества точек на ней.

Противопоставление счётных и несчётных бесконечных множеств приводит к глубокому философскому последствию, лежащему на стыке семиотики и гносеологии. А именно: оказывается, что мыслимы сущности, которые нельзя назвать. Постараемся изложить ситуацию как можно более ясно. Когда мы что-то называем, мы снабжаем это что-то индивидуальным (присущим только ему, и ничему другому) именем. Всякое же имя есть конечная цепочка знаков из некоторого выбранного для данной системы имён конечного списка знаков. Любой конечный список знаков математики называют алфавитом, составляющие его знаки – буквами, а всякую конечную цепочку букв – словом в данном алфавите. [В отличие от слов естественных языков, в математическом языке слово может быть совершенно непроизносимым, как, например, имена альдебаранцев в рассказе Лема «Вторжение с Альдебарана» – Нгтркс и Пвгдрк. Возможно, скажем, и такое слово:))) =hgйъh=+ (.] Нетрудно убедиться, что, какой алфавит ни возьми, множество всех слов, основанных на этом алфавите, будет счётным. А значит, никак не больше счётной окажется любая система имён, созданная на основе этого алфавита; эта система может быть лишь конечной, или счётной. И если мы имеем дело с несчётным множеством объектов, то в этом множестве непременно встретятся объекты – и даже очень много таких объектов, – для которых в рассматриваемой системе имён не найдётся никакого имени. В частности, какую систему именований ни придумай, всегда окажется, что существуют не имеющие имени части натурального ряда, не имеющие имени точки прямой, не имеющие имени действительные числа.

Только что приведённые соображения можно использовать для доказательства счётности множества алгебраических чисел и, следовательно, для доказательства существования трансцендентных чисел. Известно, что для всякого алгебраического уравнения множество его действительных корней, т. е. таких действительных чисел, которые служат корнями этого уравнения, всегда конечно (оно может быть, в частности, и пустым). Расположим это множество в порядке возрастания, тогда каждый корень получит свой порядковый номер в этом расположении. Именем данного алгебраического числа объявим запись, состоящую из записи любого алгебраического уравнения, корнем которого данное число является (таких уравнений всегда много!), и записи порядкового номера этого корня среди всех корней этого уравнения. Общее количество всех введённых таким способом имён счётно. Отсюда легко выводятся два факта. Во-первых, оказывается счётным количество чисел, получивших имя, – а это как раз и есть алгебраические числа. Во-вторых, многие действительные числа не получат никакого имени – это и будут трансцендентные числа.

Возникает естественный вопрос, а бывают ли мощности, промежуточные между мощностями счётной и континуальной. Иначе говоря, вопрос состоит в том, какое из двух альтернативных утверждений справедливо:

(1) по количеству элементов континуум действительных чисел идёт сразу вслед за натуральным рядом

или же

(2) в указанном континууме можно выделить промежуточное множество, т. е. такую бесконечную часть, которая не равномощна ни всему континууму, ни натуральному ряду.