Апология математики (сборник статей)

Гипотезу, предполагающую, что справедливо первое из этих утверждений, называют гипотезой континуума, или континуум-гипотезой, а требование доказать или опровергнуть эту гипотезу – проблемой континуума. В 1877 г. Кантор объявил, что континуум-гипотеза представляет собою математическую истину, и с 1879 г. начал отдельными частями публиковать трактат, имеющий целью эту истину доказать. Шестая часть была завершена 15 ноября 1883 г. Она содержала доказательство того факта, что промежуточное множество заведомо отсутствует в определённом классе множеств (а именно в классе замкнутых множеств), а также обещание в последующих статьях доказать, что такого множества вообще не существует, т. е. доказать гипотезу в её полном объёме. Однако обещанных статей не последовало. Кантор осознал, что не может доказать континуум-гипотезу, и в мае 1884 г. у него случился первый приступ нервной болезни. В середине XX в. было установлено, что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Здесь мы остановимся из страха повторить судьбу Кантора.

На языке лингвистики то, чем мы занимались в этой главе, есть семантика количественных числительных. При этом выяснилось, что привычный бесконечный ряд «конечных» числительных: один, два, три, …, сорок восемь, …, две тысячи семь, … – может быть дополнен «бесконечным» числительным алеф-ноль –

Но ведь бывают и числительные порядковые: первый, второй, третий и т. д. Вкратце поговорим и о них. Как количественное числительное есть словесное выражение (имя) количественного числа (оно же кардинальное число, оно же мощность), так порядковое числительное есть словесное выражение (имя) порядкового числа. Чтобы отличать порядковые числа от количественных, будем обозначать их – в конечном случае (а про бесконечный мы пока ничего не знаем) – римскими цифрами. Порядковое число – это особая сущность, для которой сейчас будет предложено не определение (что перегрузило бы текст), а ассоциативная иллюстрация. С этой целью обращусь к своим детским ощущениям – ещё более ранним, чем кошмар, упомянутый в самом начале данной главы. В студенческие годы я с изумлением узнал, что эти ощущения знакомы не только мне.

Итак, раннее детство. Я размышляю о том, какой я плохой. Но тут же приходит в голову мысль: раз я это понял, значит, я хороший. Но если я считаю себя хорошим, значит, я плохой. Но тогда я хороший и т. д. Какая замечательная бесконечная лестница мною выстроена, хвалю я себя. Какой я плохой, что себя хвалю. И так далее. Здесь иллюстрация понятия порядкового числа. В самом деле, естественно называть ступени возникшей лестницы словами «первая», «вторая», «третья» и т. д. А можно сказать и так: со ступенями соотносятся порядковые числа I («Я плохой»), II («Я хороший, потому что осознал, что плохой»), III («Я плохой, потому что себя похвалил») и т. д. С лестницей же в целом («Я хороший, потому что смог увидеть всю лестницу») соотносится некоторое новое, бесконечное порядковое число ω (омега). Далее следуют ω + I («Я плохой, потому что себя похвалил»), ω + II, ω + III и т. д. А потом за ними всеми ω + ω. Здесь мы остановимся, однако читатель волен продолжить этот ряд и далее. Начиная с ω идут бесконечные порядковые числа. Их именами служат «омега», «омега плюс один», «омега плюс два», «омега плюс три» и т. д. По смыслу они представляют собою порядковые числительные и потому должны были бы быть на них похожи по форме. Следовало бы говорить поэтому «омеговый», «омега-плюс-первый» и т. д.; но так почему-то не говорят.

Читатель, желающий проверить, понял ли он, что такое бесконечные порядковые числа (удалось ли автору это внятно изложить), благоволит выполнить следующее упражнение. Возьмите множество, состоящее из числа 8, числа 3, всех чисел 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и т. д. и всех чисел 2, 2 1/2, 2 2/3, 2 3/4, 2 4/5 и т. д. Пронумеруйте элементы этого множества в порядке их возрастания порядковыми числами. Какие номера они получат? Ответ: первым, наименьшим, элементом является здесь 0, и он получит номер I, элемент 1/2 получит номер II, элемент 2/3 – номер III и т. д.; далее элемент 2 получит номер ω, элемент 2 1/2 – номер ω + I, элемент 2 2/3 – номер ω + II и т. д.; наконец, элемент 3 получит номер ω + ω и элемент 8 – номер ω + ω + I.

Решение задачи об эквивалентности множеств точек, расположенных на двух отрезках.