Апология математики (сборник статей)

Обозначаем концы отрезков буквами A, B, C, D, как указано на рисунке. Проводим прямые через A и C и через B и D до пересечения в точке F. (Предоставляем читателю самостоятельно разобраться в случае, когда прямые оказались непересекающимися.) Из F проводим лучи, пересекающие оба отрезка. Точки наших отрезков, лежащие на одном и том же луче (на рисунке они помечены крестиками и кружкáми), объявляем соответствующими друг другу. Возникает взаимно однозначное соответствие между рассматриваемыми множествами.

Глава 8 Параллельные прямые в мифологии, реальности и математике

Общественное сознание отчасти мифологично, и это давно не новость. Все знают, что во время Второй мировой войны, в период германской оккупации Дании, датский король надел жёлтую звезду. На самом деле этого не было. Всем известны слова Ленина, что искусство должно быть понятно массам, и сетования Пушкина на то, что он родился в России с умом и талантом. На самом деле Ленин (в беседе с Кларой Цеткин) говорил не «понятно массам», а «понято массами», а Пушкин (в письме к жене) писал не «с умом», а «с душою». Замена понятности на необходимость понимания и ума на душу в корне меняет смысл привычных формулировок. Если искажение слов Ленина можно списать на неправильный перевод с немецкого (а подлинник текста Цеткин был доступен в России единицам), то случай с Пушкиным требует более глубокого анализа. Объяснение состоит здесь, по-видимому, в том, что наше сознание готово допустить неуместность в России ума (которым, как известно, Россию не понять), но никак не души (это в России-то, заповеднике духовности и душевности!). Сила предубеждённости в этом вопросе поистине замечательна, ведь тираж изданий писем Пушкина исчисляется сотнями тысяч! Тем не менее ошибку в цитате делают даже филологи весьма известные. Вот ещё распространённый миф – формула «Клянусь говорить правду, только правду и ничего, кроме правды», якобы применяемая в американском судопроизводстве (и довольно странная, поскольку обороты «только правду» и «ничего, кроме правды» имеют один и тот же смысл). На самом деле в Америке говорят по-другому: «Клянусь говорить правду, всю правду и ничего, кроме правды, и да поможет мне Бог» («I swear to tell the truth, the whole truth, and nothing but the truth, so help me God»).

Математики могут чувствовать себя польщёнными тем, что среди деталей, в которых мифологическая картина мира отличается от картины реальной, есть и такие, которые относятся к их дисциплине. Например, большинство людей убеждено, что в математике все понятия определяются и все утверждения доказываются. Но ведь каждое понятие определяют через другие понятия, а каждое утверждение доказывают, опираясь на другие утверждения. Вспоминается риторический вопрос г-жи Простаковой: «Портной учился у другого, другой у третьего, да первоет[54] портной у кого же учился?» Автору этих строк приходилось слышать и такое определение площади поверхности шара: «Площадь поверхности шара есть предел площадей поверхностей правильных многогранников, вписанных в этот шар, при неограниченном возрастании числа граней этих многогранников». Подобное представление о площади поверхности явно возникло по аналогии с тем фактом, что длина окружности действительно есть предел периметров правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, при неограниченном возрастании числа сторон этих многоугольников. Но всё дело в том, что в правильном многоугольнике может быть сколько угодно сторон, в правильном же многограннике количество граней может выражаться лишь одним из следующих пяти чисел: 4 (у тетраэдра), 6 (у куба, он же гексаэдр), 8 (у октаэдра), 12 (у додекаэдра) или 20 (у икосаэдра), так что ни о каком неограниченном возрастании числа граней не может быть речи.

Самое же замечательное – это то, как преломляется в мифологическом сознании учение о параллельных прямых.

Что такое параллельные прямые, знают практически все. Практически все слышали про аксиому о параллельных прямых, ведь её проходят в школе. Никто из так называемых людей с улицы, которых я спрашивал, в чём состоит аксиома о параллельных, не отговорился незнанием. Абсолютное большинство опрошенных отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Рекомендуем читателю самому произвести опрос и убедиться, что именно такая формулировка аксиомы о параллельных бытует в массовом сознании.