Апология математики (сборник статей)

До сих пор мы применяли к множествам термин эквивалентные, опасаясь испугать читателя обилием новых непривычных слов. В наши дни этот термин – в указанном применении – следует признать устаревшим. И тому есть причины. Термин этот имеет слишком уж большую сферу использования – от логики, где говорят об эквивалентных суждениях, до наркологии, где определяют, какое количество пива эквивалентно такому-то количеству водки. Современная терминология такова: два множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются равномощными (иногда всё же уточняют «равномощными, или эквивалентными»). Так мы и будем теперь выражаться, считая того, кто дочитал до сюда, достаточно закалённым. Этот закалённый читатель уже, наверное, понял, что равномощные множества имеют одну и ту же мощность. Мощность (в теории множеств) – это то общее, что имеют между собой все равномощные множества. Мы видим, что слово «мощность» в данном его употреблении является синонимом словосочетания «количество элементов» (но не слова «количество», потому что можно, например, говорить о количестве воды в стакане). Мощность множества называют также его кардинальным числом. Все континуальные множества имеют одну и ту же мощность, называемую континуальной; она обозначается посредством строчной буквы из печатного готического алфавита.

Описанный выше способ, посредством которого существование иррациональных и трансцендентных чисел можно вывести из общих соображений, без предъявления конкретных примеров, мы вправе назвать количественным, ибо он основан на несовпадении количеств – счётного количества, присущего как множеству рациональных, так и множеству алгебраических чисел, и континуального количества, присущего множеству всех действительных чисел.

Теперь о сравнении количеств. Два количества могут быть равны или не равны. Давайте осознаем, чтó это означает. Каждое количество представлено классом всех мыслимых эквивалентных друг другу множеств. Равенство количеств означает совпадение соответствующих классов, а неравенство – их несовпадение. Семь потому не равно восьми, что класс всех множеств, эквивалентных множеству смертных грехов, не совпадает с классом всех множеств, эквивалентных множеству планет. Количество квадратов потому равно количеству натуральных чисел, что класс всех множеств, эквивалентных множеству квадратов, совпадает с классом всех множеств, эквивалентных натуральному ряду. Но хотелось бы иметь право говорить не только о равенстве или неравенстве двух количеств, но и о том, какое из них больше, а какое меньше. (Не запутайтесь: слова «больше» и «меньше» относятся к количествам, а не к представляющим их классам множеств!)

Спросим уже знакомых нам, не умеющих считать первобытных скотоводов, могут ли они определить, в каком из их стад больше элементов (в предположении, что стада различны по численности). Их ответ будет положительным. Если в стаде коз удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству овец, то коз больше. Если же в стаде овец удастся выделить такую часть, не совпадающую со всем стадом, которая окажется эквивалентной множеству коз, то больше овец. (В математике каждое множество считается частью самого себя, поэтому оговорка о несовпадении существенна.) Однако, как мы видели, такой способ не годится в случае бесконечных множеств. Действительно, в натуральном ряду можно выделить часть, с ним не совпадающую (а именно: множество квадратов), которая эквивалентна множеству квадратов; тем не менее натуральный ряд и множество квадратов, как мы видели, эквивалентны. Что же делать? Надо придумать такой критерий, который применим к любым множествам. Гениальное решение, найденное Кантором, состоит в следующем: к предложенной нашими скотоводами формулировке надо всего лишь добавить некую клаузулу, излишнюю (хотя и ничему не мешающую) в конечном случае, но необходимую в случае бесконечном. Клаузула состоит в требовании неэквивалентности сравниваемых множеств. Полная формулировка того, что количество элементов первого множества больше количества элементов второго множества, такова: множества неэквивалентны, но в первом множестве имеется часть, эквивалентная второму множеству.