Апология математики (сборник статей)

Заметим, что здесь, как и в ряде других случаев, математики используют слово естественного (русского, английского и т. п.) языка не в его обыденном значении, привычном для тех, кто в математике не искушён, а в особом, терминологическом. (В современной алгебре, например, термины «кольцо» и «поле» означают математические структуры с определёнными свойствами.) В обычном понимании русское слово «множество» употребляется, когда чего-то много. Математическое же понятие множества не предполагает, что элементов в множестве много. Множество может состоять из одного-единственного элемента и даже быть пустым, вовсе не имеющим элементов. «Зачем же рассматривать такие патологические образования, как пустое множество?» – спросит читатель. И мы ему ответим: «Это удобно». Мы можем, например, говорить о множестве слонов в зоопарке города N, не зная заранее, есть ли в этом зоопарке хотя бы один слон. Какое множество ни возьми, оно включает в себя и пустое множество: так, среди частей множества всех слонов земного шара присутствует не только множество слонов Московского зоопарка, но и множество слонов любого зоопарка, этих животных не имеющего. Во избежание недоразумений заметим, что пустое множество одно: пустое множество слонов и пустое множество мух представляют собою одно и то же множество. (Совершенно так же, как стакан газировки без вишневого сиропа не отличается от стакана газировки без апельсинового сиропа; сравнение понятно старшему поколению, которое ещё помнит, как газированной водой торговали на улицах советских городов.)

Учение о множествах создал великий немецкий математик и философ Георг Кантор в 1874–1897 гг. О Канторе мы ещё расскажем несколькими строками ниже, а пока заметим, что именно ему принадлежит идея обозначить понятие множества словом со смысловым оттенком 'много'. А именно: он предложил обозначить это понятие немецким словом Menge (имеющим значения 'масса', 'множество', 'большое количество', 'куча', 'груда', а также 'толпа', 'рой', 'стая'), которое стало общепринятым в немецкой математической терминологии. К этому слову Кантор пришёл не сразу, вначале он использовал, причём как синонимы, слова Inbegriff (со значениями 'воплощение', 'олицетворение', 'высшее проявление') и Mannigfaltigkeit (со значениями 'разнообразие', 'разносторонность', 'многосторонность', 'множественность'[51]). Наконец он остановился на Menge и в 1895 г. так разъяснил своё понимание этого термина: «Под множеством мы понимаем соединение M определенных и вполне различимых объектов m нашего созерцания или мышления (каковые называются элементами M) в одно целое» («Unter einer "Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die "Elemente" von M genannt werden) zu einem Ganzen»[52]).

Назвав Кантора выше немцем, мы всего лишь последовали укоренившейся традиции. Не вполне ясно, как его надо называть. Отец Кантора родился в Дании, мать – в России. Сам он также появился на свет на русской земле, а именно 3 марта в Санкт-Петербурге (где на календаре в тот день было 19 февраля); в этом городе он провел первые 11 лет своей жизни, о которых вспоминал с ностальгией. Вот, скажем, Пьера Ферма, о котором говорилось выше, в главе 2, можно, не испытывая сомнений, назвать французом: он всегда жил во Франции, ей служил и говорил по-французски; трудно представить, чтобы Ферма ощущал себя кем-то иным, нежели французом. Кем ощущал себя Кантор, загадка. Его биографы указывают, что, хотя свою взрослую жизнь он и прожил в Германии, уютно ему там не было.

Выдающийся российский математик Павел Сергеевич Александров (1896–1982) писал: «Думаю, что во второй половине XIX в. не существовало математика, оказавшего большее влияние на развитие математической науки, чем создатель абстрактной теории множеств Георг Кантор».

Учение о бесконечном далось его автору настолько трудно, что привело его к тяжёлой нервной болезни. В 1884 г. у Кантора начались приступы депрессии, а с 1897 г. он уже не публиковал научных работ. С 1899 г. Кантор становится пациентом неврологических санаториев, а потом и клиник, проводя в них всё больше и больше времени. В одной из таких клиник он и скончался 6 января 1918 г. Любезному читателю это не грозит, поскольку мы ограничимся началами.

Построения Кантора основаны на чрезвычайно простой мысли (которая, как и всякая гениальная мысль, после её осознания кажется очевидной): понятие количества является вторичным по отношению к понятию равенства количеств. Не нужно смущаться тем, что в выражении «равенство количеств» слово «количество» уже присутствует: нас должна интересовать не лингвистическая этимология терминов, а логическая генеалогия понятий. Совершенно так же образованию понятия 'цвет' предшествует формирование представления об одноцветности, хотя слово «одноцветный» происходит от слова «цвет». Можно сказать, что цвет – это то общее, что есть у всех одноцветных предметов, а количество – это то общее, что есть у всех равноколичественных множеств.