Апология математики (сборник статей)

«Что же нужно сделать, чтобы найти выход из такого положения?» – в растерянности спрашивает ещё один участник беседы, Сагредо. Возможны два выхода. Первый состоит в том, чтобы отказаться от сравнения бесконечных количеств по их величине и признать, что, рассматривая два таких количества, не следует даже и спрашивать, равны ли они, первое ли больше второго, второе ли больше первого, – и то и другое бесконечно, и этим всё сказано. Такой выход и предлагает Галилей устами Сальвиати. Но возможен и другой выход. Можно предложить общую схему сравнения любых количеств по их величине. В случае конечных количеств эта схема не будет расходиться с привычными для нас представлениями. Для количеств бесконечных она тоже, если вдуматься, не будет им противоречить, хотя бы потому, что каких-либо привычных схем оперирования с бесконечностями у нас нет. Именно этот второй выход и принят в математике. Забегая вперёд, укажем, что если к квадратам добавить сколько угодно неквадратов, то полученная расширенная совокупность чисел будет равна по количеству исходной совокупности квадратов (эффект Кортасара). Можно, в частности, добавить все неквадраты и получить таким образом совокупность всех чисел. Оказывается, количество всех чисел действительно равно количеству квадратов, хотя квадраты составляют только часть чисел. Это явление – равенство по количеству совокупности и её собственной части – для конечных совокупностей невозможно, для совокупностей же бесконечных возможно, и сама эта возможность может служить одним из определений бесконечности.

Только что изложенное свойство бесконечных совокупностей не столь трудно для понимания, как может показаться. И сейчас мы попытаемся его объяснить. Сама логическая конструкция проста, изящна и поучительна. Мы надеемся, что читатель согласится включить её в свой интеллектуальный багаж, причём в качестве носимой с собой ручной клади, а не тяжеловесного предмета, сдаваемого в багажное отделение.

Для начала перестанем избегать принятого в математике термина «множество», как мы делали до сих пор, стыдливо заменяя его синонимом «совокупность».

Первая глава знаменитой книги Хаусдорфа[49] «Теория множеств» (Mengenlehre)[50] открывается такими словами: «Множество возникает путём объединения отдельных предметов (вещей) в одно целое. Оно есть множественность, мыслимая как единство» («Eine Menge entsteht durch Zusammenfassung von Einzeldingen zu einem Ganzen. Eine Menge ist eine Vielheit, als Einheit gedacht»). Далее Хаусдорф замечает, что подобное определение можно по праву назвать определением через самоё себя (idem per idem) или даже определением тёмного через темнейшее (obscurer per obscurium) и что это не столько определение, сколько иллюстрация и указание на первичный характер понятия, которое не сводится ни к чему более простому. «Однако, – пишет он о цитированных нами словах, – мы можем трактовать их просто как указания на некоторый первоначальный, всем свойственный акт мышления, который, быть может, и нельзя, а может быть, и не нужно [курсив мой. – В. У.] разлагать на другие, более простые акты». Дать точное определение всем понятиям невозможно, поскольку одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д., и мы неизбежно приходим либо к порочному кругу, либо к тупику. Поэтому необходимо должны существовать понятия неопределимые, познаваемые непосредственно материальным или ментальным опытом. В математике к числу их принадлежат понятия натурального числа и множества.