Апология математики (сборник статей)

Для установления равноколичественности двух множеств вовсе не нужно пересчитывать их элементы, можно вообще не уметь считать. Для примера представим себе двух первобытных людей, один из которых владеет стадом коз, а другой – стадом овец. Они хотят обменяться стадами, но при условии, что те равноколичественны. Счёта они не знают. Но это им и не нужно. Нужно просто связать попарно овец и коз, так чтобы каждая коза была связана ровно с одной овцой, а каждая овца – ровно с одной козой. Успех процедуры и означает равенство количеств. Аналогично нет нужды пересчитывать людей и стулья, чтобы убедиться в одинаковости их количеств. Надо просто посадить людей на стулья, причём так, чтобы на каждом стуле сидел один человек и чтобы никто не занимал двух или более стульев.

Пример из первобытной жизни и пример со стульями приводят нас к важнейшему понятию эквивалентности множеств. Говорят, что два множества эквивалентны, если можно так сопоставить друг с другом их элементы, что каждый элемент первого множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом второго множества и каждый элемент второго множества окажется сопоставленным ровно с одним элементом первого множества. Такое сопоставление выявляет взаимно однозначное соответствие между рассматриваемыми множествами. Наши скотоводы как раз и осуществили подобное сопоставление, установив тем самым взаимно однозначное соответствие между своими стадами. А синьор Сальвиати установил взаимно однозначное соответствие между множеством всех квадратов и множеством всех чисел. Это соответствие можно наглядно показать посредством следующей бесконечной таблицы:

Чтобы продемонстрировать эффект Кортасара на простом примере, добавим к множеству квадратов какие-нибудь три числа, квадратами не являющиеся: скажем, 7, 23 и 111. Следующая бесконечная таблица демонстрирует взаимно однозначное соответствие между множеством квадратов и расширенным множеством, состоящим из всех квадратов и трёх указанных неквадратов:

Читатель да благоволит изобразить на листе бумаги любые два отрезка и в качестве несложного упражнения убедиться, что множество точек, расположенных на первом отрезке, и множество точек, расположенных на втором отрезке, являются эквивалентными. Решение будет приведено в конце главы.

Но не окажутся ли вообще все бесконечные множества эквивалентны друг другу? Великое открытие Кантора состояло в том, что он обнаружил неэквивалентные бесконечности. Так, одна из его замечательных теорем гласила, что множество всех точек прямой и множество всех натуральных чисел неэквивалентны. Оказалось, что наиболее знакомые нам бесконечные множества подразделяются на два основных рода, причём множества первого рода эквивалентны друг другу, как и множества второго рода, а множества разных родов друг другу неэквивалентны. Множества первого рода называются счётными, к ним относятся: натуральный ряд, любая бесконечная часть натурального ряда (например, множество всех квадратов), множество всех дробей, множество всех мыслимых комбинаций (как ведущих к выигрышу, так и проигрышных) пластинок из четырёхчленного набора, заявленного в игре из предыдущей главы. Множества второго рода именуются континуальными; таковы множество всех точек прямой, множество всех точек плоскости, множество всех окружностей, множество всех частей натурального ряда. Некоторые бесконечные множества не являются ни счётными, ни континуальными, но в «математическом быту» они почти не встречаются.

Позволим себе теперь рассматривать и другие числа помимо натуральных – те, о которых говорилось в главе 4. Хотя каждое рациональное число может быть записано посредством многих дробей, а более точно – бесконечного их количества, множество рациональных чисел оказывается эквивалентным множеству дробей, т. е. счётным. С другой стороны, как известно из курса средней школы, каждому действительному числу можно поставить в соответствие некоторую точку на прямой, и при этом каждая точка будет сопоставлена ровно с одним числом – своей координатой; таким образом, множество точек прямой и множество действительных чисел эквивалентны, и, следовательно, множество действительных чисел континуально. Как указывалось в предыдущем абзаце, континуальность и счётность не могут сочетаться в одном и том же множестве. Поэтому множество рациональных чисел не может совпасть с множеством всех действительных чисел, а отсюда следует, что существуют такие действительные числа, которые не являются рациональными; их называют иррациональными. Стало быть, сам факт существования иррациональных чисел, без указания какого-либо конкретного иррационального числа, может быть выведен из общих рассуждений.