Апология математики (сборник статей)

Игровыми принадлежностями будут служить пластинки, похожие на костяшки, что используются при игре в домино. Как и костяшка домино, каждая пластинка разделена пополам чертой. В каждой половине что-то написано. Отличие от домино заключается в том, чтó именно написано. В случае домино в каждой из половин точками фиксируется число очков от 0 до 6. В нашем случае в каждой из половин записывается цепочка из букв x и z. Вот примеры таких цепочек. Цепочки длины один: x, z. Цепочки длины два: xx, xz, zx, zz. Цепочки длины три: xxx, xxz, xzx, xzz, zxx, zxz, zzx, zzz. Возможна и цепочка длины ноль, в этом случае не записано ничего. А вот одна из 128 цепочек длины семь: zxzxxxz. Возможный вид пластинок изображён на рис. 1.

Изображённые на рис. 1 четыре пластинки, в том порядке, как они показаны, обозначим – для дальнейших ссылок – буквами A, B, C, D. Если приложить одну пластинку к другой, но не торцами, как при игре в домино, а боками, то в результате получим две строчки букв: одну сверху, другую снизу. Так, прикладывая A к D (слева D, справа A), получаем zzzx сверху и zzx снизу. Если приложить в другом порядке, получим xzzz сверху, zxz снизу. Аналогично можно прикладывать друг к другу несколько пластинок и считывать верхнюю и нижнюю строчки букв. Более того, каждую пластинку разрешается воспроизводить в неограниченном количестве и создавать сочетания из повторяющихся пластинок, такие, например, как AACA. В этом примере верхней строчкой будет xxxzx, а нижней – zxzxzzzx. Прошу у читателя прощение за долгое вступление, но хотелось бы, чтобы всё было предельно ясно.

Теперь – сама игра. Она состоит в следующем. В средствах массовой информации объявляется некоторый конкретный набор пластинок. Далее предлагается, воспроизводя каждую из пластинок набора в необходимом количестве, приложить пластинки друг к другу так, чтобы верхняя и нижняя строчки совпали друг с другом. Первым пяти приславшим решения будет выплачен внушительный приз.

Поясним сказанное на примерах. Пусть объявленный набор содержит всего только одну пластинку A из приведённого выше перечня. Ясно, что решение невозможно, потому что, сколько раз ни прикладывай пластинку A саму к себе, нижняя строка всегда окажется длиннее верхней. По сходной причине решения не существует, если объявленный набор состоит из одной только пластинки D, только тут длиннее будет верхняя строка. Желающие могут попытаться доказать, что решения не существует и в том случае, когда объявленный набор состоит из двух пластинок A и D. А вот если объявить набор из всех наших четырёх пластинок A, B, C и D, то решение существует. Действительно, если сложить пластинки в таком порядке: DBCDA, – то и верхняя, и нижняя строка окажутся одинаковы: zzzxxzzzzx.

Итак, набор объявлен. Все хотят получить приз. Но, прежде чем пытаться найти такое расположение пластинок, при котором верхняя и нижняя строки окажутся одинаковыми, желательно узнать, возможно ли такое расположение в принципе. Ведь если оно невозможно, то бесперспективно его искать, это будет пустой потерей времени. Так вот, оказывается, что не существует никакого эффективного способа это узнать. Не существует такого алгоритма (он не просто неизвестен – его нет), который позволял бы для любого объявленного набора пластинок узнать, имеется ли решение, т. е. можно или нельзя сложить пластинки требуемым образом. Узнать, к какой из двух категорий относится каждый отдельно взятый набор пластинок – к той, для которой решения имеются, или же к той, для которой решений нет, – это сугубо творческая задача, своя для каждого набора, а общий метод нахождения ответа для всех таких задач отсутствует.

Глава 7 Парадокс Галилея, эффект Кортасара и понятие количества

Мне áлеф

-ноль сияет в вышине,Как лишь песцы сияют голубые,
И я ищу спасения от змия
В теории Георга, как в вине.

Из студенческого фольклора

В детстве меня иногда посещал кошмар. Мне представлялось большое число стульев (наглядно – в виде рядов в партере летнего театра). И вот их начинают пересчитывать. Получают некоторое число. Затем пересчитывают в другом порядке и получают другое число. Кошмар заключался в том, что оба числа верны.

Только в университете я узнал, что невозможность описанного составляет предмет особой и притом не слишком просто доказываемой теоремы. А потом прочёл «Записи в блокноте» Хулио Кортасара. Там говорилось о произведённой в 1946-м или 1947 г. операции по учёту пассажиров на одной из линий метро Буэнос-Айреса: