Апология математики (сборник статей)

Не в интересах правды, а в интересах истины сообщим, что же происходит в геометрии Лобачевского. Отличие геометрии Лобачевского от привычной, известной со школы евклидовой геометрии в следующем. В евклидовой геометрии через точку проходит только одна прямая, параллельная заранее указанной прямой, а в геометрии Лобачевского – много таких прямых. В аксиоме о параллельных, сформулированной выше, надо заменить слово «нельзя» на слово «можно», и аксиома о параллельных в версии Евклида превратится в аксиому о параллельных в версии Лобачевского: через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой.

Особое положение аксиомы о параллельных вызвано тем, что она не столь очевидна, как другие аксиомы геометрии. Возьмём, например, аксиому о том, что через две любые различные точки проходит одна и только одна прямая. Её можно проверить экспериментально. Надо выбрать плоский участок, вбить два колышка и туго натянуть между ними нить – вот вам наглядное подтверждение существования прямой, проходящей через две точки. Если же мы возьмём другую натянутую нить, соединяющую те же колышки, то обе нити сольются в одну линию – на глаз, конечно, но вся наша проверка и производится «на глаз»; так подтверждается единственность прямой. А вот убедиться столь же просто, что проходящая через точку параллельная всегда только одна, невозможно. Представим себе, что мы провели параллельную и, кроме того, через ту же точку какую-то другую прямую под очень маленьким углом к этой параллельной. По евклидовой аксиоме эта другая прямая обязана пересечь ту исходную прямую, к которой и была проведена наша параллельная. Но где она, точка пересечения? Она ведь может оказаться не только вне выбранного участка, доступного нашему обозрению, но и астрономически далеко, вне нашей Галактики. И может не найтись иного способа убедиться в том, что такая точка существует, как просто поверить в евклидову аксиому о параллельных. Но такой, основанный на чистой вере, способ подтверждения того факта (а лучше сказать того предположения, той гипотезы), что аксиома о параллельных выполняется в реальном физическом пространстве, был не по душе математикам.

Поэтому в течение долгого времени предпринимались попытки доказать содержащееся в аксиоме о параллельных утверждение и тем самым как бы понизить её статус, переведя её из аксиом в теоремы. До нас дошли сведения о таких попытках, относящихся ко II в. н. э. Желание доказать аксиому о параллельных подогревалось, помимо всего прочего, громоздкостью её первоначальной формулировки, которая содержится в составленных в III в. до н. э. «Началах» Евклида. В «Началах» она значилась по одним манускриптам 11-й аксиомой, а по другим – 5-м постулатом. В качестве 5-го постулата она так изложена в последнем, наиболее авторитетном русском издании «Начал» 1948 г.:

И если прямая, падающая на [пересекающая] две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где [в сумме] углы меньше двух прямых [углов].

Слова в квадратных скобках добавлены нами для ясности. Список всех пяти постулатов Евклида приведен в настоящем сборнике в § 2. Аксиомы Евклида. При взгляде на этот список бросаются в глаза отличия 5-го постулата от других. Во-первых, его не так легко понять при беглом чтении. А во-вторых, когда понимание наконец приходит, обнаруживается, что истинность этого постулата не столь очевидна, как других. Была ещё одна причина, побуждавшая доказывать 5-й постулат: выяснилось, что 4-й постулат, провозглашающий равенство всех прямых углов, можно доказать, а значит, изъять его из списка постулатов.

Однако все попытки доказать 5-й постулат неуклонно проваливались. Нельзя сказать, что эти попытки были бесполезны, они способствовали развитию геометрии. Более того, тот общепринятый ныне «школьный» вариант аксиомы о параллельных, который мы привели выше (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную этой прямой), принадлежит античному философу и математику V в. Проклу Диадоху, руководителю Платоновой Академии. Прокл пришёл к этой современной формулировке, комментируя Евклида и пытаясь доказать 5-й постулат. Формулировка Прокла равносильна 5-му постулату (он же 11-я аксиома) Евклида.