Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра

Инкрементальный способ представления статистики кратеров состоит в подсчете числа кратеров N(D_av), размеры которых заключены в заданном диапазоне размеров D = D₂ x D₁ при среднем размере, определяемом как среднее арифметическое D_av = (D₁ + D₂)/2 или среднее геометрическое D_av = (D₁ x D₂)^1/2. Такая статистика описывается выражением

где показатель степенной функции по модулю на единицу больше, чем в кумулятивном законе. Строго говоря, коэффициент пропорциональности B должен быть величиной отрицательной (число кратеров убывает с ростом их размера), однако для практических нужд его практически всегда используют как положительную величину.

После накопления большого опыта в практическом подсчете статистики лунных и марсианских кратеров специально созданная рабочая группа НАСА опубликовала практические рекомендации по стандартизации представления статистики кратеров в инкрементальном виде [Arvidson et al., 1979]. Было рекомендовано, как правило, использовать для инкрементального представления данных не равные интервалы диаметров, а логарифмически равные интервалы, когда отношение D₂/D₁ является величиной постоянной и равной в стандартном случае по умолчанию 2. В случае постоянства отношения D₂/D₁ показатель степени в инкрементальном законе будет таким же, как и в кумулятивном законе. Поскольку главным сторонником подобного представления был известный американский исследователь У. Хартманн (W. K. Hartmann), мы будем обозначать число кратеров в интервалах с постоянным D₂/D₁ = 2 как N_H:

(заметим, что сам Хартманн иногда использовал не средний диаметр D_av, а меньший диаметр интервала измерений D₁; интересующийся читатель должен быть настороже).

Для представления инкрементальных данных рекомендуется использовать линейку граничных диаметров интервалов, один из которых фиксирован при D = 1 км. Тогда интервалы диаметров в сторону больших размеров составляют 1,41, 2, 2,83, 4 км и т. д., а в сторону меньших размеров — 707, 500, 353, 250 м и т. д., при стандартном отношении D₂/D₁ = 2.

R-представление. Кумулятивное и инкрементальное представления данных для интервалов диаметров кратеров более одного порядка величины вызывают трудности при графическом представлении — диапазон значений величины N изменяется на три порядка (при b— 3) при изменении D на порядок величины. Поэтому для графического представления данных рабочая группа НАСА [Arvidson et al., 1979] стандартизировала так называемое R-представление (от англ. Relative — относительный). При этом круто падающая зависимость N(H) представляется не в абсолютных значениях, а нормируется относительно базовой степенной функции, за которую принята функция D^-3. Таким образом, R-представление изображает отклонение распределения по размерам от простой круто падающей степенной функции:

Согласно стандартной модели, статистическая ошибка подсчета числа кратеров N в заданном интервале диаметров оценивается как ±N. Этот интервал обычно обозначается на рисунках отрезком вертикальной линии. Для R-представления ошибка представляется как интервал от R(N + N) до R(N — N). После формальных (но необходимых) объяснений терминологии можно перейти к описанию собственно наблюдательных данных о распределении лунных кратеров по размерам. При этом нужно принимать во внимание два важных обстоятельства: 1) уничтожение части кратеров планетарными геологическими процессами; 2) достижение предельной (равновесной, насыщенной) плотности кратеров, определяемой как отношение их числа к площади изучаемой поверхности. Стирание кратеров вулканизмом было характерно для Луны в течение первых 2,5 млрд лет ее истории [Hiesinger et al., 2003; Hiesinger et al., 2000]. В последние 2 млрд лет ландшафт Луны изменялся в основном за счет образования новых ударных кратеров. Однако на Земле и Марсе наличие атмосферы и гидросферы делает уничтожение кратеров важным конкурентом процесса их образования. Здесь наблюдаемое число кратеров ниже некоторого характерного размера остается постоянным за счет равенства скоростей образования новых и стирания старых кратеров. Поэтому необходимо различать статистику подсчитанных кратеров и статистику общего количества кратерообразующих ударов. В идеальной ситуации некий геологический процесс полностью обновляет участок поверхности, на котором начинают стохастически накапливаться новые ударные кратеры. В этом случае наблюдатель фиксирует все кратеры (и их размеры), а статистика распределения кратеров по размерам соответствует (с учетом определенных законов подобия) статистике распределения по размерам малых тел Солнечной системы. В таких условиях полученное распределение по размерам называют производящей функцией.