Астрономия. Популярные лекции

Рис. 2.2. Схема крутильных весов, на которых Генри Кавендиш измерял гравитационную силу.

Сначала в этой константе была уверенно измерена только одна значащая цифра, в XIX веке узнали вторую, в середине XX века появился третий знак, совсем недавно — четвертый. Пятый еще пока пытаются выяснить: даже при использовании самых лучших методов он у всех определяется по-разному, большей точности достичь не получается.

Рис. 2.3. Принципиальная схема крутильных весов.

Движение двух тел

Единственное тело в абсолютной пустоте будет лететь по прямой, потому что никакие внешние силы на него не действуют, — это случай тривиальный и неинтересный. А простейшей задачей небесной механики считается задача двух гравитационно взаимодействующих тел. Но ее можно еще упростить, если взять одно тело очень массивное, а другое очень маленькое. Малое тело движется под влиянием центростремительного ускорения, а большому безразлично, что там вокруг него бегает, фактически оно не «чувствует» чужого присутствия и поэтому неподвижно. Эта ситуация называется задачей одного тела в центральном гравитационном поле (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Задача двух тел начинается с задачи о движении одного тела в центральном поле.

Рис. 2.5. Легкий спутник на круговой орбите очень большого радиуса.

Если начало системы координат совместить с массивным телом, то вследствие его неподвижности такая система координат будет инерциальной. И это может оказаться очень полезным. Например, для космического аппарата мы можем записать, что действующее на него центростремительное ускорение равно отношению силы гравитационного притяжения к его массе:

Если он обращается на достаточно дальней круговой орбите (рис. 2.5), то, выполнив простое преобразование этой формулы, можно однозначно связать орбитальный период с массой притягивающего тела. Собственно говоря, это единственный надежный метод для определения массы планеты:

Но задача становится сложнее, когда спутник находится близко к планете: при этом уже нельзя пренебрегать ее размером и формой (рис. 2.6). Казалось бы, это задача очень сложная, потому что для решения надо вычислить притяжение спутника к каждой точке планеты и сложить векторы сил. Та же проблема у геофизика, который интересуется внутренностью планеты и хочет узнать, какова гравитация на нужной глубине: ему надо бы вычислить притяжение ко всем точкам внешней части и ко всем точкам внутренней части. К счастью, еще Ньютон доказал две простые, но очень полезные теоремы, значительно облегчающие вычисления, — и за это ему спасибо.

Рис. 2.6. Легкий спутник на круговой орбите малого радиуса.

Первая теорема говорит о том, что если у вас есть однородная по плотности сферическая оболочка, то внутри нее гравитация отсутствует и ускорение везде равно нулю. Доказательство можно продемонстрировать на пальцах. Для этого помещаем в произвольное место полости пробный шарик и смотрим, какие силы на него действуют со стороны двух диаметрально противоположных бесконечно малых сегментов (рис. 2.7, где сегменты для наглядности показаны большими):

Рис. 2.7. Теорема Ньютона о гравитации внутри однородной сферы.

Площади и массы обоих сегментов прямо пропорциональны квадрату расстояния, а сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, значит, оба оказывают на эту точку одинаковое по величине, но противоположно направленное влияние, то есть силы уравновешиваются. Таким образом, где бы ни находилось тело внутри оболочки, оно пребывает в состоянии невесомости. Более того: когда вы свободно падаете без опоры, вы тоже испытываете невесомость в течение короткого времени, пока не упали, а в полости вообще нет гравитационной силы, и «падать» там можно бесконечно долго.

Рис. 2.8. Теорема Ньютона о гравитации вне однородной сферы (в точке А).