Бабочка и ураган

В (0,33333…) = 0,33333 — В (0,3333) = 0,333

В (0,33333…) = 0,33333 — В (0,333) = 0,33

В (0,33333…) = 0,33333 — В (0,33) = 0,3

В (0,33333…) = 0,33333 — В (0,3) = 0

В (0,33333…) = 0,33333 — В(0) = 0

В (0,33333…) = 0,33333 — В(0) = 0

… --…

Подобно остальным периодическим десятичным дробям, х = 0,3 определяет периодическую орбиту для сдвига Бернулли. В нашем случае точка х имеет период, равный 1, то есть это фиксированная точка, так как она повторяется бесконечное число раз. И напротив, у = 0,3333, подобно всем остальным непериодическим десятичным дробям, — это точка, составляющая часть впадины аттрактора, расположенного в точке 0, так как в долгосрочном периоде ее орбита притягивается к точке 0. Ошибка измерения, которая изначально составляла менее одной тысячной (х — у = 0,3 — 0,3333 = 0,00003), значительно возрастет и будет иметь порядок нескольких десятых (после четвертой итерации ошибка будет равна 0,3 — 0 = 0,3).

Два начальных условия, близкие друг к другу, порождают две траектории, которые по прошествии определенного времени никак не связаны между собой.

Где в нашем случае проявляется эффект карточной колоды? Рассмотрим бесконечные непериодические десятичные дроби, то есть иррациональные числа. Построим орбиты чисел (2)^0,5 - 1 (= 0,41421356237…) и π — 3 (= 0,14159265358…):

B((2)^0,5 - i) = 0,14213… — В (π — 3) = 0,41592…

В(0,14213..) = 0,42135… -- В (0,41592…) = 0,15926…

В (0,42135…) = 0,21356… -- В (0,15926…) = 0,59265…

В (0,21356…) = 0,13562… -- В (0,59265…) = 0,92653…

В(0,13562…) = 0,35623… -- В (0,92653…) = 0,26535…

В (0,35623.. .) = 0,56237… -- В (0,26535…) = 0,65358…

… --…

Что вы видите? Полученные десятичные дроби абсолютно случайны! Они напоминают номера лотерейного тиража. Это случайность, порождаемая хаосом. Орбиты чисел (2)^0,5 -1, π — 3 или любого другого иррационального числа будут колебаться между 0 и 1. они будут приближаться к нулю столь же часто, как и к единице (или к 0,5). Знаки в десятичной записи иррациональных чисел не подчиняются какому-либо закону. Таким образом, если два рациональных числа — периодические десятичные дроби, значение которых точно известно, — порождают орбиты, которые рано или поздно будут периодическими (то есть начнут повторяться), то иррациональные числа (бесконечные непериодические десятичные дроби), напротив, порождают исключительно беспорядочные орбиты. Так как любое рациональное число бесконечно близко к некоторому иррациональному, периодические и непериодические орбиты неизбежно будут переплетаться между собой. В этом и заключается эффект карточной колоды.

Можно задаться вопросом: где в этом примере выполняются операции растяжения и складывания, которые порождают хаос? Чтобы обнаружить их, нужно посмотреть, какие математические действия мы совершаем при выполнении сдвига Бернулли. Мы уже говорили, что сдвиг Бернулли представляет собой сдвиг запятой в записи десятичной дроби на одну позицию вправо с последующим удалением первой цифры полученного числа. Когда мы сдвигаем запятую, в действительности мы умножаем число на 10, то есть «растягиваем» его, а когда мы стираем первую цифру, то уменьшаем, или «складываем, сгибаем» число. И вновь мы видим магический рецепт хаоса.

* * *