Бабочка и ураган

ХАОС НА ЗЕМЛЕ И НА НЕБЕ

Если Роберт Мэй представил парадигму дискретной хаотической динамической системы в одном измерении (логистическое отображение), то французский астроном Мишель Эно предложил парадигму дискретной хаотической динамической системы в двух измерениях — так называемое отображение Эно. В 1976 году, спустя несколько лет после того, как свет увидела работа Лоренца с описанием модели непрерывной хаотической динамической системы, Эно опубликовал статью «Двухмерное отображение со странным аттрактором», в которой представил преобразование плоскости, определяемое формулой

где а и b — две постоянные, которые обычно принимаются как а = 1,4 и b = 0,3. Это отображение Н представляет собой упрощенную версию сечения Пуанкаре для аттрактора Лоренца.

Если мы применим Н несколько раз подряд к квадрату, то увидим, как он будет менять форму: сначала он будет превращаться во все более вытянутый четырехугольник, затем — в бесконечно запутанную подкову. Эта бесконечно запутанная структура (фрактал), к которой приближаются последовательные итерации Н, и будет странным аттрактором Эно.

Хотя Эно утверждал, что описал странный аттрактор (то есть аттрактор, имеющий фрактальную природу), правильность его выводов подтвердили шведские математики Майкл Бенедикс и Леннарт Карлесон лишь в 1991 году.

Аттрактор Эно имеет фрактальную структуру, то есть обладает самоподобием (он повторяется в различных масштабах снова и снова).

Глава 3. Но, господин математик, что такое этот ваш детерминированный хаос?

Но, господин математик, что такое этот ваш детерминированный хаос?

Кто исчислит песок Иакова и число четвертой части Израиля?

Числа, глава 23, стих 10

Мефистофель: Как предречь игру судьбины?

Иоганн Вольфганг Гёте, «Фауст»

Бог и Дьявол сошлись в одном: способность человека предсказывать будущее безнадежно ограничена. Теория относительности Эйнштейна избавила ученых от иллюзий об относительном пространстве и времени, описанных в классической физике Ньютона, квантовая теория Бора, Планка и Гейзенберга, в свою очередь, покончила с мечтами о точных измерениях, а теория хаоса в одночасье уничтожила фантазии о возможностях предсказания будущего.

Самым важным ударом по традиционной мысли стало понимание того, что предсказать поведение многих систем на больших интервалах времени в принципе невозможно, так как решения уравнений, описывающих движение этих систем, крайне неустойчивы. Сложное поведение подобных систем вызвано не внешним воздействием, не обилием степеней свободы и не квантовыми эффектами. Уравнения, описывающие движение системы, детерминированы, однако их решения обладают стохастическими свойствами. Это явление называется детерминированным хаосом.

Попытаемся объяснить детерминированный хаос с точки зрения математики, ведь, как говорил Чарльз Дарвин, «математика наделяет человека новым, шестым чувством».

Хаос и сложность