Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике

Схема парадокса Кантора, по которому существует множество, большее, чем то, которое уже содержит в себе все.

КОНГРЕСС 1897 ГОДА

С 9 по 11 августа 1897 года в Цюрихе (Швейцария) проходил Первый международный конгресс математиков, в котором приняли участие более 200 ученых из 16 стран мира, в том числе Гильберт и Кантор. На этом конгрессе теория множеств получила международное признание, а многие выступления были посвящены применению понятий теории множеств — в основном в области исчисления.

Кто из нас не обрадовался бы, если бы ему удалось поднять пелену, скрывающую будущее, увидеть будущий прогресс нашей науки и тайны ее развития в последующие века?!

Давид Гильберт на Втором международном конгрессе математиков

В беседах, которые участники вели между заседаниями, постоянно проявлялся волнующий всех вопрос... об открытии парадокса в теории множеств. В марте 1897 года в бюллетене Палермитанского математического кружка итальянский логик и математик Чезаре Бурали-Форти (1861-1931) опубликовал статью под названием «Вопрос о трансфинитных числах», в которой вновь открывал парадокс об ординальных числах. В 1883 году Кантор не дал точной формулировки парадокса, и он стал известен только после знаменитой работы Бурали- Форти, посему и получил его имя. Интересно, что итальянский ученый тоже присутствовал на конгрессе и выступил с докладом, правда по геометрии.

Гильберт, большой сторонник теории множеств, был крайне обеспокоен выявлением парадокса и в 1897 году начал интенсивную переписку с Кантором. В ходе этого обсуждения Кантор вновь выразил свою убежденность в том, что всех парадоксов в теории множеств можно было избежать, проведя различие между трансфинитным и абсолютным, хотя в письмах он не использовал эти термины, а говорил о «доступном» и «недоступном» (а иногда о «существенных» и «несущественных» множествах).

По Кантору, доступные множества — это такие множества, которые мы можем назвать и свойства которых мы можем изучить; недоступные же находятся вне нашего понимания, поэтому если мы будем пытаться анализировать их, то рискуем столкнуться с противоречиями. Проблема была не во множествах самих по себе, а в конечном и ограниченном рассудке, неспособном понять определенный тип множеств. Гильберта не убеждала такая постановка вопроса, он полагал, что если мы в состоянии постичь определение множества, то должны быть в состоянии и познать все его свойства. Мысль о том, что существуют непознаваемые математические объекты, была противна философии математики Гильберта, которую можно охарактеризовать его знаменитой максимой «Мы должны знать. Мы будем знать», произнесенной на конференции в честь открытия Второго международного конгресса математиков в 1900 году. Она выражает его твердую уверенность в том, что неразрешимых математических задач не существует. Интереснейший спор в письмах между Гильбертом и Кантором трагически прервался в 1899 году, так и не завершившись решением, которое устроило бы обе стороны.

ЧЕЗАРЕ БУРАЛИ-ФОРТИ

Бурали-Форти родился в Ареццо, в Италии, 13 августа 1861 года. Он изучал математику в Пизанском университете, где в 1884 году защитил диплом.