Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Когда мы применяем нелинейную динамику к биологии, нам часто приходится представлять пространства еще более высокой размерности. Например, в нейробиологии мы должны отслеживать все меняющиеся концентрации ионов калия, натрия, кальция, хлора и прочих, участвующих в уравнениях Ходжкина и Хаксли для мембраны. Современные версии этих уравнений могут включать сотни переменных, представляющих изменяющиеся концентрации ионов в нервной клетке, изменяющееся напряжение на клеточной мембране, а также изменяющуюся способность мембраны пропускать различные ионы и позволять им попадать в клетку или выходить из нее. Абстрактное пространство состояний в этом случае имеет сотни измерений, по одному для каждой переменной: одно для концентрации калия, второе для концентрации натрия, третье для напряжения, четвертое для проводимости натрия, пятое для проводимости калия и так далее. В любой конкретный момент все эти переменные принимают определенные значения. Уравнения Ходжкина – Хаксли (или их обобщения) дают этим переменным инструкции по перемещению, указывающие, как им двигаться дальше по их траекториям. Таким образом, динамику нервных клеток, клеток мозга или сердца можно прогнозировать, причем иногда с удивительной точностью, с помощью компьютеров, вычисляющих эти траектории в пространстве состояний. Плоды такого подхода используются при изучении нервных патологий и сердечных аритмий, а также для разработки улучшенных дефибрилляторов.

Сегодня математики регулярно имеют дело с абстрактными пространствами, обладающими произвольным количеством измерений. Мы говорим об n-мерном пространстве и разработали геометрию и анализ для произвольного числа измерений. Как мы видели в главе 10, Аллан Кормак, создатель теоретического обоснования КТ-сканирования, заинтересовался, как компьютерная томография будет работать в четырех измерениях, исключительно из научного любопытства, которое нередко приводит к великим открытиям. Когда Эйнштейну понадобилась четырехмерная геометрия для искривленного пространства-времени в общей теории относительности, он был рад узнать, что она уже существует благодаря Бернхарду Риману, который создал ее десятилетиями ранее по соображениям чистой математики.

Так что о любопытстве в математике можно говорить долго. Часто оно приводит к научным и практическим результатам, предвидеть которые невозможно. Оно также доставляет ученым удовольствие само по себе и выявляет скрытые связи между различными частями математики. По всем этим причинам последние двести лет ученые активно занимались изучением многомерных пространств.

Однако даже при наличии какой-то абстрактной системы для работы в многомерных пространствах визуализировать их трудно. А если уж до конца быть честным, то невозможно. Наш мозг к этому не приспособлен. Мы так не устроены.

Это когнитивное ограничение наносит серьезный удар по программе Пуанкаре, по крайней мере для размерности выше трех. Его подход к нелинейной динамике зависит от визуальной интуиции. Если мы не можем вообразить, что произойдет в случае четырех, восемнадцати или ста измерений, его подход нам особо не поможет. Это стало большой помехой для прогресса в области сложных систем, где как раз и нужны многомерные пространства, чтобы разобраться в тысячах биохимических реакций, происходящих в здоровой клетке, или объяснить, как гибнут клетки, пораженные раком. Если мы хотим научиться объяснять клеточную биологию с помощью дифференциальных уравнений, нужно научиться решать их в виде формул (но Софья Ковалевская продемонстрировала, что мы этого не можем) или представлять наглядно (что не позволяет наш ограниченный мозг).

Вот почему математика сложных нелинейных систем обескураживает. Кажется, что всегда будет трудно, а может, и вообще невозможно добиться прогресса в решении наиболее сложных проблем нашего времени – от поведения экономик, общества и клеток до работы иммунной системы, генов, мозга и сознания.

Еще одна трудность состоит в том, что мы даже не знаем, скрывают ли эти системы какие-либо закономерности, подобные тем, что были открыты Кеплером и Галилеем. Для нервных клеток это, очевидно, верно, а как насчет экономики или общества? Во многих областях, где мы не обнаружили закономерностей, человеческое знание находится все еще на догалилеевском, докеплеровском уровне. Тогда как мы можем строить более глубокие теории, которые позволили бы понять эти закономерности? Биология, психология и экономика еще не ньютоновские, потому что они пока даже не галилеевские и не кеплеровские. Нам предстоит еще долгий путь.

Компьютеры, искусственный интеллект и тайна понимания