Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной

Научная фантастика? Возможно. Но я думаю, что такой сценарий не исключен. В некоторых областях математики и других наук мы уже ощущаем закат понимания[340]. Существуют теоремы, доказанные компьютерами, и в этих доказательствах не может разобраться ни один человек. Теоремы верны, но мы не понимаем, почему. На данном этапе машины не могут объясниться.

Рассмотрим старую знаменитую математическую задачу под названием задача четырех красок. В ней говорится, что при определенных разумных ограничениях любую карту на плоскости или на сфере можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы никакие две соседние страны не были окрашены в одинаковый цвет. (Посмотрите на типичную карту Европы, Африки или любого другого континента, кроме Австралии, и поймете, что я имею в виду.) Теорема о четырех красках была доказана в 1976 году с помощью компьютера, но ни один человек не мог проверить все шаги в рассуждении. Хотя с тех пор доказательство проверяли и упрощали, все равно в нем имеется часть, где используются прямые вычисления, – ровно так, как компьютеры играли в шахматы до появления AlphaZero. Появление этого доказательства у многих математиков вызвало раздражение. Они и так считали, что теорема о четырех красках верна. Им не надо было это подтверждать. Они хотели понять, почему она верна, а компьютерное доказательство в этом не помогло.

Рассмотрим еще одну геометрическую задачу четырехсотлетней давности, поставленную Иоганном Кеплером. В ней требуется определить самый эффективный способ наиболее плотно упаковать одинаковые сферы в трехмерном пространстве (это сродни задаче, как в магазине уложить в деревянный ящик как можно больше апельсинов). Будет ли эффективнее всего укладывать сферы одинаковыми слоями, один непосредственно на другой? Или лучше расположить слои так, чтобы каждая сфера оказывалась в выемке, которую образуют четыре сферы в слое под ней? (Апельсины укладывают именно так.) Если да, то можно ли считать этот способ наилучшим? Или существует расположение сфер с еще большей плотностью, причем, возможно, без регулярной структуры? Гипотеза Кеплера заключалась в том, что упаковка из продуктовых магазинов самая лучшая[341]. Однако доказано это было только в 1998 году. Томас Хейлс при помощи своего студента Сэмюэла Фергюсона и 180 000 строк компьютерного кода свел гипотезу к большому, но конечному числу случаев. Затем с помощью перебора и использования оригинальных алгоритмов программа проверила гипотезу. Математическое сообщество пожало плечами. Теперь мы знаем, что гипотеза Кеплера верна, но по-прежнему не знаем, почему. У нас нет понимания. И компьютер Хейлса нам этого объяснить не смог.

Но что произойдет, если настроить на решение таких задач программу AlphaInfinity? Такая машина могла бы выдавать красивые доказательства – столь же красивые, как шахматные партии, которые она играла против Stockfish. Ее доказательства были бы интуитивно понятны и элегантны. Они были бы, по словам венгерского математика Пала Эрдёша, доказательствами прямо из Книги[342]. Эрдёш любил повторять, что у Бога есть Книга, в которую тот включает идеальные доказательства, и фраза, что какое-то доказательство взято из Книги, была его наилучшей возможной похвалой. В частности, это значит, что доказательство раскрывает, почему теорема верна, а не заставляет нас принудительно согласиться с какими-то уродливыми и трудными рассуждениями. Я могу себе представить не слишком отдаленный день, когда искусственный интеллект предоставит нам доказательство из Книги. Но на что будут в тот момент похожи анализ, медицина, социология и политика?

Заключение

При правильном использовании бесконечности анализ может раскрыть секреты Вселенной. Мы видели, как это происходит снова и снова, но все равно каждый раз воспринимаем это как чудо. Система рассуждений, созданная людьми, каким-то образом находится в гармонии с природой. Она надежна не только в масштабах, в которых была изобретена – в масштабах повседневной жизни, с волчками и мисками супа, – но и в мельчайших масштабах атомов и колоссальнейших масштабах космоса. Так что тут не может быть порочного круга. Это не тот случай, когда мы вводим в анализ уже известные нам вещи, а анализ выдает нам их обратно; нет, анализ говорит нам о тех вещах, которых мы никогда не видели, никогда не могли увидеть и никогда не увидим. Иногда он говорит нам о вещах, которые никогда не существовали, но могли бы существовать – если бы только у нас хватило ума вызвать их к жизни.

Для меня это величайшая загадка всего: почему Вселенная постижима и почему анализ согласуется с ней? У меня нет ответа, но я надеюсь, что вы согласитесь: над этим стоит подумать. А сейчас позвольте мне представить три последних примера сверхъестественной эффективности анализа.

Восемь знаков после запятой