Большая книга занимательных наук

Но и последние случаи исключаются не вполне: они дают результат, правда, не тождественный с рассмотренными, но все же сходный с ними. Рассмотрим внимательнее, что должно получиться от умножения нашего загадочного числа на множитель больше 7, то есть на 8, на 9 и т. д. Умножить 142857, например, на 8 мы можем так: умножить сначала на 7 и к произведению (то есть к 999999) прибавить наше число:

142857 х 8 = 142857 х 7 + 142857 = 999999 + 142857 = 1000000 – 1 + 142857 = 1000000 + (142857 – 1).

Окончательный результат – 1142856 – отличается от умножаемого 142857 только тем, что впереди стоит еще одна единица, а последняя цифра на единицу же уменьшена. По сходному правилу составляются произведения 142857 на всякое другое число больше 7, как легко усмотреть из следующих строк:

142807 х 8 = (142857 х 7) + 142857 = 1000000 – 1 + 142857 = 1142856

142857 х 9 = (142857 х 7) + (142857 х 2) = 1000000 – 1 +285714= 1285713

142857 х 10 = (142857 х 7) + (142857 х 3) = 1000000 – 1 +428571 = 1428570

142857 х 16 = (142857 х 7 х 2) + (142857 х 2) = 2000000 -2 + 285714 = 2285713

142857 х 39 = (142857 х 7 х 5) + (142857 х 4) = 5000000 -5 + 571428 = 5571427

Общее правило здесь такое: при умножении 142857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в множителе, и то же число вычитается из результата[68]. Пусть мы желаем умножить 142857 на 88. Множитель 88 при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следовательно, результат умножения таков:

12 571 428– 12 = 12 571 416.

От умножения 142857 на 365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):

52 142 857 – 52 = 52 142 805.

Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно, нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвященных молниеносным умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, заметим, что оно произошло от 1/7, или, что то же самое, от 2/14; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из 999:

Мы уже имели дело с такими числами – именно когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказанное там, мы сразу сообразим, что число 142857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:

142 857 = 143 х 999.

Но 143 = 13 х 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 х 11 х 13, мы будем в состоянии, не выполняя действия, предсказать, что должно получиться от умножения 142857 х 7:

142857 х 7 = 143 х 999 х 7 = 999 х 11 х 13 х 7 = 999 х 1001 = 999 999

(все эти преобразования мы, конечно, можем проделать в уме).

Чисел, подобных тому, с которым мы познакомились, существует множество. Они составляют словно одно семейство, так как объединены общим происхождением – от превращения простых дробей в бесконечные десятичные. Но не всякий период десятичной дроби обладает рассмотренным выше любопытным свойством давать при умножении круговую перестановку цифр. Не вдаваясь в тонкости теории, отметим, что это имеет место только для тех дробей, число цифр периода которых на единицу меньше знаменателя соответствующей простой дроби. Так, например:

1/7 дает в периоде 6 цифр.

1/17»»» 16»

1/19»»» 18»

1/23»»» 22»

Вы можете убедиться испытанием, что периоды дробей, получающихся от превращения 1/17,1/19,1/23 и 1 /29 в десятичные, обладают теми же особенностями, как и рассмотренный нами период дроби 1/7.

Например, от 1/29 получаем число

0 344 827 586 206 896 551 724 137 931.

Если указанное сейчас условие (относительно чисел цифр периода) не соблюдено, то соответствующий период дает число, не принадлежащее к занимающей нас семье интересных чисел. Например, 1/13 дает десятичную дробь с шестью (а не с 12) цифрами в периоде:

1/13 = 0,076923.

Помножив на 2, получаем совершенно иное число:

2/13 = 0,153846.

Почему? Потому что среди остатков от деления 1:13 не было числа 2. Различных остатков было столько, сколько цифр в периоде, то есть 6; различных же множителей для дроби 1/13 у нас 12; следовательно, не все множители будут среди остатков, а только 6. Легко убедиться, что эти множители следующие: 1, 3,4, 9,10, 12. Умножение на эти 6 чисел дает круговую перестановку (076 923 х 3 = 230 769), на остальные – нет. Вот почему от 1/13 получается число, лишь отчасти пригодное для «магического кольца». То же надо сказать и о ряде других периодов.

Мнимая неожиданность

В 1916 году, в разгар империалистической войны, некоторые газеты нейтральной Швейцарии занимались арифметическим «гаданием» о… грядущей судьбе императоров Германии и Австрии. «Пророки» складывали следующие столбцы чисел:

Для Вильгельма II:

Для Франца-Иосифа:

В совпадении сумм «пророки» видели мрачное предзнаменование для коронованных особ, и так как каждый итог представлял собой удвоенный 1916 год, то обоим императорам предрекали гибель именно в этом году.