Большая книга занимательных наук

И хотя этого и следовало ожидать, так как 873 х 1001 = 873 х 1000 + 873 = 878000 + 873, – все же, пользуясь указанным свойством числа Шехеразады, можно достичь результатов, совсем неожиданных, – по крайней мере, человеку неподготовленному.

Сейчас поясним в чем дело.

Товарищей, не посвященных в арифметические тайны, вы можете поразить следующим фокусом. Пусть кто-нибудь напишет на бумажке, секретно от вас трехзначное число, какое хочет, и затем пусть припишет к нему еще раз то же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из трех повторяющихся цифр. Предложите тому же товарищу или его соседу разделить секретно от вас это число на 7, при этом вы заранее предсказываете, что остатка не получится. Результат передается новому соседу, который по вашему предложению делит его на 11; и хотя вы не знаете делимого, вы все же смело утверждаете, что и оно разделится без остатка. Полученный результат вы направляете следующему соседу, которого просите разделить это число на 13 – деление снова выполняется без остатка, о чем вы заранее предупреждаете. Результат третьего деления вы, не глядя на полученное число, вручаете первому товарищу со словами:

– Вот число, которое вы задумали!

– Так и есть: ты угадал.

Какова разгадка фокуса?

Этот красивый арифметический фокус, производящий на непосвященных впечатление волшебства, объясняется очень просто: вспомните, что приписать к трехзначному числу его само – значит умножить его на 1001, т. е. на произведение 7 х 11 х 13. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к задуманному числу его само, должно будет поэтому делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13, а после деления последовательно на эти три числа (т. е. на их произведение – 1001) должно снова дать первоначальное число.

Число 10101

После сказанного о числе 1001 для вас уже не будет неожиданностью увидеть в витринах нашей галереи число 10101. Вы догадаетесь, какому именно свойству число это обязано такою честью. Оно, как и число 1001, дает удивительный результат при умножении, но не трехзначных, а двузначных чисел: каждое двузначное число, умноженное на 10101, дает в результате само себя, написанное трижды. Например:

73 х 10101 = 737373;

21 х 10101 = 212121.

Причина уясняется из следующей строки:

Можно ли проделывать с помощью этого числа фокусы необычайного отгадывания, как с помощью числа 1001?

Да, можно. Здесь возможно даже обставить фокус разнообразнее, если иметь в виду, что 10101 есть произведение четырех простых чисел:

10101 = 3 х 7 х 13 x 37.

Предложив товарищу задумать какое-нибудь двузначное число, вы предлагаете второму приписать к нему то же число, а третьему – приписать то же число еще раз. Четвертого вы просите разделить получившееся шестизначное число, например, на 7; пятый товарищ должен разделить полученное частное на 3; шестой делит то, что получилось, на 37, и, наконец, седьмой делит этот результат на 13, причем все четыре деления выполняются без остатка. Результат последнего деления вы просите передать первому товарищу: это – задуманное им число.

При повторении фокуса вы можете внести в него некоторое разнообразие, обращаясь каждый раз к новым делителям. А именно вместо множителей

3 х 7 х 13 х 37 можете взять следующие группы множителей:

21 х 13 х 37; 7 х 39 х 37; 3 х 91 х 37; 7 х 13 х 111.

Число это – 10101, – пожалуй, даже удивительнее волшебного числа Шехеразады, хотя и менее его известно своими поразительными свойствами. О нем писалось, впрочем, еще двести лет тому назад в «Арифметике» Магницкого, в главе, где приводятся примеры умножения «с некоим удивлением». С тем большим основанием должны мы включить его в наше собрание арифметических диковинок.

Число 10001

С этим числом вы также можете проделать фокусы вроде предыдущих, хотя, пожалуй, не столь эффектные. Дело в том, что оно представляет собой произведение только двух простых чисел:

10001 = 73 х 137.

Как воспользоваться этим для выполнения арифметических действий «с удивлением», читатель, надеюсь, после всего сказанного выше догадается сам.

Шесть единиц

В следующей витрине мы видим новую диковинку арифметической кунсткамеры – число, состоящее из шести единиц. Благодаря знакомству с волшебными свойствами числа 1001, мы сразу соображаем, что

111111= 111 х 1001.

Но 111 = 3 х 37, а 1001 = 7 х 11 х 13. Отсюда следует, что наш новый числовой феномен, состоящий из одних лишь единиц, представляет собою произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти пять множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число 111111, а именно:

3 × (7 × 11 × 13 × 37) = 3 × 37037 = 111111

7 × (3 × 11 × 13 × 37) = 7 × 15873 = 111111

11 × (3 × 7 × 13 × 37) = 11 × 10101 = 111111

13 × (3 × 7 × 11 × 37) = 13 × 8547 = 111111

37 × (3 × 7 × 11 × 13) = 37 × 3003 = 111111

(3 × 7) × (11 × 13 × 37) = 21 × 5291 = 111111

(3 × 11) × (7 × 13 × 37) = 33 × 3367 = 111111

и т. д.