Большая книга занимательных наук

Вы можете, значит, засадить кружок из 15 товарищей за работу умножения, и хотя каждый будет перемножать другую пару чисел, все получат один и тот же оригинальный результат: 111111.

То же число, 111111, пригодно и для отгадывания задуманных чисел наподобие того, как выполняется это с помощью чисел 1001 и 10101. В данном случае нужно предлагать задумывать число однозначное, т. е. цифру, и повторять 6 раз. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3,7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. д. Это дает возможность до крайности разнообразить выполнение фокуса. Как надо поступать в этих случаях, предоставляю подумать читателю.

На примере числа 111111 читатель видит, как можно использовать для арифметических фокусов число, состоящее из одних лишь единиц, если оно разлагается на множители. К счастью для любителей подобных фокусов, многие числа такого начертания составные, а не простые.

Из первых 17 чисел этого рода только два наименьшие – 1 и 11 – простые, остальные – составные. Вот как разлагаются на простые множители первые десять из составных чисел этого начертания:

Не все приведенные здесь числа удобно использовать для отгадывания; в некоторых случаях выполнение фокуса возложило бы на загадчика чересчур обременительную работу. Но числа из 3, из 4, из 5, из 6, из 8, из 9, из 12 единиц более или менее пригодны для этой цели.

Числовые пирамиды

В следующих витринах галереи нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода – некоторое подобие пирамид, составленных из чисел. Рассмотрим поближе первую из таких пирамид.

Пирамида 1

Как объяснить эти своеобразные результаты умножения?

Чтобы постичь эту странную закономерность, возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды:

123456 х 9 + 7.

Вместо умножения на 9, можно умножить на (10 – 1), т. е. приписать 0 и вычесть умножаемое:

Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц.

Мы можем уяснить себе это исходя и из других рассуждений. Чтобы число вида 12345… превратилось в число вида 11111… нужно из второй его цифры вычесть

1, из третьей – 2, из четвертой – 3, из пятой – 4 и т. д. – иначе говоря, вычесть из него то же число вида 12345…, вдесятеро уменьшенное и предварительно лишенное последней цифры. Теперь понятно, что для получения искомого результата нужно наше число умножить на 10, прибавить к нему следующую за последней цифру и вычесть из результата первоначальное число (а умножить на 10 и отнять множимое – значит умножить на 9).

Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды, получающейся при умножении определенного ряда цифр на 8 и прибавлении последовательно возрастающих цифр:

Пирамида 2

Особенно интересна в этой пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение полного натурального ряда цифр в такой же ряд, но с обратным расположением. Объясним эту особенность.

Получение странных результатов уясняется из следующей строки:[67]

то есть 12345 х 8 + 5 = 111111 – 12346. Но вычитая из числа 111111 число 12346, составленное из ряда возрастающих цифр, мы, как легко понять, должны получить ряд убывающих цифр – 98765.

Вот наконец третья числовая пирамида, также требующая объяснения:

Пирамида 3

Эта пирамида является следствием первых двух. Связь эта устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что, например:

12345 x 9 + 6= 111111.

Умножив обе части на 8, имеем: (12345 х 8 х 9) + (6 х 8) = 888888.

Но из второй пирамиды известно, что 12345 х 8 + 5 = 98765, или что 12345 х 8 = 98760.

Значит: 888888 = (12345 х 8 х 9) + (6 х 8) = (98760 х 9) + 48 = (98760 х 9) + (5 х 9) + 3 = (98760 + 5) х 9 + 3 = 98765 х 9 + 3.

Вы убеждаетесь, что все эти числовые пирамиды не так уже загадочны, как кажутся с первого взгляда.

Девять одинаковых цифр

Конечная строка первой из только что рассмотренных «пирамид»

12345678 x 9 + 9= 111111111

представляет образчик целой группы интересных арифметических курьезов, собранной в нашем музее в следующую таблицу:

12345679 × 9 = 111111111

12345679 × 18 = 222222222

12345679 × 27 = 333333333

12345679 × 36 = 444444444

12345679 × 45 = 555555555

12345679 × 54 = 666666666

12345679 × 63 = 777777777

12345679 × 72 = 888888888

12345679 × 81 = 999999999

Откуда такая закономерность в результатах?

Примем во внимание, что

12345678 х 9 + 9 = (12345678 + 1) х 9 = 12345679 х 9.

Поэтому 12345679 x 9= 111111111.

А отсюда прямо следует, что

12345679 х 9 х 2 = 222222222

12345679 х 9 х 3 = 333333333

12345679 х 9 х 4 = 444444444 и т. д.

Цифровая лестница

Любопытно, что получится, если число 111111111, с которым мы сейчас имели дело, умножить само на себя? Заранее можно предвидеть, что результат должен быть диковинный, – но какой именно?