Большая Советская Энциклопедия (АЛ)

  Алгебра в 18—19 вв. В конце 17 — начале 18 вв. произошёл величайший перелом в истории математики и естествознания: был создан и быстро распространился анализ бесконечно малых (дифференциальное и интегральное исчисления). Этот перелом был вызван развитием производительных сил, потребностями техники и естествознания того времени и подготовлен он был всем предшествующим развитием А. В частности, буквенные обозначения и действия над ними ещё в 16—17 вв. способствовали зарождению взгляда на математические величины как на переменные, что так характерно для анализа бесконечно малых, где непрерывному изменению одной величины обычно соответствует непрерывное изменение другой — её функции.

  А. и анализ развивались в 17—18 вв. в тесной связи. В А. проникали функциональные представления, в этом направлении её обогатил И. Ньютон . С другой стороны, А. принесла анализу свой богатый набор формул и преобразований, игравших большую роль в начальный период интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Крупным событием в А. этого периода было появление курса алгебры Л. Эйлера , работавшего тогда в Петербургской академии наук. Этот курс вышел сначала на русском языке (1768—69), а затем неоднократно издавался на иностранных языках. Отличие А. от анализа в 18—19 вв. характеризуется тем, что А. имеет своим основным предметом прерывное, конечное. Эту особенность А. подчеркнул в 1-й половине 19 в. Н. И. Лобачевский , назвавший свою книгу «Алгебра, или Вычисление конечных» (1834). А. занимается основными операциями (сложение и умножение), производимыми конечное число раз.

  Простейшим результатом умножения является одночлен, например 5a³ bx² y. Сумма конечного числа таких одночленов (с целыми степенями) называется многочленом . Если обратить внимание на одну из входящих в многочлен букв, например x, то можно придать ему вид: a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + ... + a_n , где коэффициенты a_o , a₁ , . ...,a_n уже не зависят от х . Это — многочлен n-й степени (другое наименование — полином, целая рациональная функция). А. 18—19 вв. и есть прежде всего А. многочленов.

  Объём А., т. о., оказывается значительно уже, чем объём анализа, но зато простейшие операции и объекты, составляющие предмет А., изучаются с большей глубиной и подробностью; и именно потому, что они простейшие, их изучение имеет фундаментальное значение для математики в целом. Вместе с тем А. и анализ продолжают иметь много точек соприкосновения, и разграничение между ними не является жёстким. Так, например, анализ перенял от А. её символику, без которой он не мог бы и возникнуть. Во многих случаях изучение многочленов, как более простых функций, пролагало пути для общей теории функций. Наконец, через всю дальнейшую историю математики проходит тенденция сводить изучение более сложных функций к многочленам или рядам многочленов: простейший пример — Тейлора ряд . С другой стороны, А. нередко пользуется идеей непрерывности, а представление о бесконечном числе объектов стало господствующим в А. последнего времени, но уже в новом, специфическом виде (см. ниже — Современное состояние алгебры).

  Если приравнять многочлен нулю (или вообще какому-либо определённому числу), мы получим алгебраическое уравнение. Исторически первой задачей А. было решение таких уравнений, т. е. нахождение их корней — тех значений неизвестной величины х, при которых многочлен равен нулю. С древних времён известно решение квадратного уравнения х² + px + q =0 в виде формулы:

  Алгебраическое решение уравнения 3-й и 4-й степеней было найдено в 16 в. Для уравнения вида x³ + px + q = 0 (к которому можно привести всякое уравнение 3-й степени) оно даётся формулой:

  Эта формула называется формулой Кардано, хотя вопрос о том, была ли она найдена самим Дж. Кардано или же заимствована им у других математиков, нельзя считать вполне решенным. Метод решения алгебраических уравнений 4-й степени указал Л. Феррари . После этого начались настойчивые поиски формул, которые решали бы уравнения и высших степеней подобным образом, т. с. сводили бы решение к извлечениям корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трёх столетий, и лишь в начале 19 в. Н. Абель и Э. Галуа доказали, что уравнения степеней выше 4-й в общем случае в радикалах не решаются: оказалось, что существуют неразрешимые в радикалах уравнения n-й степени для любого n, большего или равного 5. Таково, например, уравнение x⁵ - 4x - 2 = 0. Это открытие имело большое значение, т. к. оказалось, что корни алгебраических уравнений — предмет гораздо более сложный, чем радикалы. Галуа не ограничился этим, так сказать, отрицательным результатом, а положил начало более глубокой теории уравнений, связав с каждым уравнением группу подстановок его корней. Решение уравнения в радикалах равносильно сведению первоначального уравнения к цепи уравнений вида: y ^m = а , которое и выражает собой, что