Большая Советская Энциклопедия (ДИ)

Дифференциа'льное исчисле'ние, раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 в.). Они сформулировали основные положения Д. и. и чётко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. С этого времени Д. и. развивается в тесной связи с интегральным исчислением, вместе с которым оно составляет основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение» (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 587).

  Д. и. зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование которых составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, предел, непрерывность. Все эти понятия выкристаллизовались и получили современное содержание в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Основная идея Д. и. состоит в изучении функций в малом. Точнее: Д. и. даёт аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Д. и.: производная и дифференциал. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них — определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала является математическим выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой точки. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного евклидова пространства в другое и на отображения произвольных линейных нормированных пространств и является одним из основных понятий современного нелинейного функционального анализа.

  Производная. Пусть требуется определить скорость прямолинейно движущейся материальной точки. Если движение равномерно, то пройденный точкой путь пропорционален времени движения; скорость такого движения можно определить как путь, пройденный за единицу времени, или как отношение пути, пройденного за некоторый промежуток времени, к длительности этого промежутка. Если же движение неравномерно, то пути, пройденные точкой в одинаковые по длительности промежутки времени, будут, вообще говоря, различными. Пример неравномерного движения даёт тело, свободно падающее в пустоте. Закон движения такого тела выражается формулой s = gt²/2, где s — пройденный путь с начала падения (в метрах), t — время падения (в секундах), g — постоянная величина, ускорение свободного падения, g » 9,81 м/сек². За первую секунду падения тело пройдёт около 4,9 м, за вторую — около 14,7 м, а за десятую — около 93,2 м, т. е. падение происходит неравномерно. Поэтому приведённое выше определение скорости здесь неприемлемо. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за некоторый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t; она определяется как отношение длины пути, пройденного за этот промежуток времени, к его длительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t, но и от выбора промежутка времени. В нашем примере средняя скорость падения за промежуток времени от t до t + Dt равна

 

Это выражение при неограниченном уменьшении промежутка времени Dt приближается к величине gt, которую называют скоростью движения в момент времени t. Таким образом, скорость движения в какой-либо момент времени определяется как предел средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается.

  В общем случае эти вычисления надо проводить для любого момента времени t, промежутка времени от t до t + Dt и закона движения, выражаемого формулой s = f (t). Тогда средняя скорость движения за промежуток времени от t до t + Dt даётся формулой Ds/Dt, где Ds = f (t + Dt) — f (t), а скорость движения в момент времени t равна