Большая Советская Энциклопедия (ДИ)

где А = А (x), a = a(х, x) ® 0 при х ® x. В этом и только в этом случае выражение ADx называется дифференциалом функции f (x) в точке x и обозначается dy или df (x). Геометрически дифференциал (при фиксированном значении x и меняющемся приращении Dx) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT (см. рис.). Дифференциал dy представляет собой функцию как от точки х, так и от приращения Dх. Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, понимая под этим, что, при фиксированном х, dy есть линейная функция от Dх и разность Dy - dy есть бесконечно малая относительно Dx. Для функции f (x) o х имеем dx = Dх, т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx. Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного переменного y = f (x) имела в точке x дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f' (x), и справедливо равенство dy = f' (x) dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y = f (x) в точке с абсциссой x как предельное положение секущей является также такой прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки x примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А (х) = f' (x); запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f' (x), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f' (x) dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.

  Рассматриваются также дифференциалы высших порядков. На практике с помощью дифференциалов часто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычислений. Пусть, например, надо вычислить значение функции f (x) в точке х, если известны f (x) и f' (x). Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство

  f (x₁) » f (x) + df (x) = f (x) + f' (x) (x₁ - x).

Погрешность этого равенства приближённо равна половине второго дифференциала функции, т. е.

  1/2 d²f = 1/2 f" (x)(x₁ – x)².

  Приложения. В Д. и. устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами Д. и. К их числу относятся Ролля теорема, формула Лагранжа f (a) — f (b) = f' (c)(b — а), где a < с < b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.

  Эти предложения позволяют методами Д. и. провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, выпуклость и вогнутость, возрастание и убывание функций, их экстремумы, найти их асимптоты, точки перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну кривой, выяснить характер её особых точек и т.д. Например, условие f' (x) > 0 влечёт за собой (строгое) возрастание функции у = f (x), а условие f" (x) > 0 — её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции, принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней уравнения f' (x) = 0.

  Исследование функций при помощи производных составляет основное приложение Д. и. Кроме того, Д. и. позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы вида 0/0 и yen/yen (см. Неопределённое выражение, Лопиталя правило). Д. и. особенно удобно для исследования элементарных функций, т.к. в этом случае их производные выписываются в явной форме.

  Д. и. функций многих переменных. Методы Д. и. применяются для изучения функций нескольких переменных. Для функции двух независимых переменных z = f (х, у) частной производной по х называется производная этой функции по х при постоянном у. Эта частная производная обозначается z'_x, f'_x (x, y), ¶z/¶х или ¶f (x, y)/¶x, так что

 

Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у. Величина

  Dz = f (x + Dx, y + Dy) - f (x, y)

называется полным приращением функции z = f (x, y). Если его можно представить в виде

  Dz = ADx + ВDу + a,

где a — бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние между точками (х, у) и (х + Dх, у + Dу), то говорят, что функция z = f (x, y) дифференцируема. Слагаемые АDх + ВDу образуют полный дифференциал dz функции z = f (x, y), причём А = z'_x, B = z'_y. Вместо Dx и Dy обычно пишут dx и dy, так что