Большая Советская Энциклопедия (ДИ)

Основное преимущество скорости в данный момент времени, или мгновенной скорости, перед средней скоростью состоит в том, что она, как и закон движения, является функцией времени t, а не функцией интервала (t, t + Dt). С другой стороны, мгновенная скорость представляет собой некоторую абстракцию, поскольку непосредственному измерению поддаётся средняя, а не мгновенная скорость.

  К выражению типа (*) приводит и задача (см. рис.) построения касательной к плоской кривой в некоторой её точке М. Пусть кривая Г есть график функции у = f (x). Положение касательной будет определено, если будет найден её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла a, образованного касательной с осью Ox. Обозначим через x абсциссу точки М, а через x₁ = x + Dх — абсциссу точки M₁. Угловой коэффициент секущей MM₁ равен

 

где Dy = M₁N = f (x + Dx) — f (x) — приращение функции на отрезке [x, x₁]. Определяя касательную в точке М как предельное положение секущей MM₁, когда x₁ стремится к x, получаем

 

  Отвлекаясь от механического или геометрического содержания приведённых задач и выделяя общий для них приём решения, приходят к понятию производной. Производной функции у = f (x) в точке х называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, так что

 

С помощью производной определяется, кроме уже рассмотренных, ряд важных понятий естествознания. Например, сила тока определяется как предел

 

где Dq — положительный электрический заряд, переносимый через сечение цепи за время Dt; скорость химической реакции определяется как предел

 

где DQ — изменение количества вещества за время Dt; вообще, производная по времени есть мера скорости процесса, применимая к самым разнообразным физическим величинам.

  Производную функции y = f (x) обозначают f' (x), у', dy/dx, df/dx или Df (х). Если функция y = f (x) имеет в точке х производную, то она определена как в самой точке x, так и в некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке x. Обратное заключение было бы, однако, неверным. Например, непрерывная в каждой точке функция

 

графиком которой служат биссектрисы первого и второго координатных углов, при х = 0 не имеет производной, т.к. отношение Dу/Dх не имеет предела при Dx ® 0: если Dх > 0, это отношение равно +1, а если Dx < 0, то оно равно -1. Более того, существуют непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке (см. Непрерывная функция).

  Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.

  Таблица формул и правил дифференцирования

  (C)' = 0; (xⁿ)' = nx^n-1;

  (a^х)' = a^x ln a и (e^x)' = e^x;

  (log_ax)' = 1/x ln a и (ln x)' = 1/x;

  (sin x)' = cos x; (cos x)' = – sin x;

  (tg x)' = 1/cos²x; (ctg x)' = – 1/sin²x;

 

  (arc tg x)' = 1/(1 + x²).

  [f (x) ± g (x)]' = f '(x) ± g'(x);

  [Cf (x)]' = Cf '(x);

  [f (x) g (x)]' = f''(x) g (x) + f (x) g '(x);

 

если y = f (u) и u = j(x), т. е. y = f [j(x)], то dy/dx = (dy/du)x(du/dx) = fc (u)jc(x).

Здесь С, n и a — постоянные, a > 0. Эта таблица, в частности, показывает, что производная от всякой элементарной функции есть снова элементарная функция.

  Если производная f' (x), в свою очередь, имеет производную, то её называют второй производной функции у = f (x) и обозначают

  у", f" (x), d²y/dx², d²f/dx² или D²f (x).

Для прямолинейно движущейся точки вторая производная характеризует её ускорение.

  Аналогично определяются и производные более высокого (целого) порядка. Производная порядка n обозначается

  yⁿ, fⁿ (x), dⁿy/dxⁿ, dⁿf/dxⁿ или Dⁿf (x).

  Дифференциал. Функция у = f (x), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х, называется дифференцируемой в точке x, если её приращение

  Dy = f (x + Dx) - f (x)

можно записать в форме

  Dу = АDх + aDх,