Большая Советская Энциклопедия (КО)

  Обратное заключение не всегда справедливо. Для выяснения вопроса, насколько хорошо регрессия передаёт изменение Y при изменении X, используется условная дисперсия Y при данном значении Х = х или её средняя величина — дисперсия Y относительно линии регрессии (мера рассеяния около линии регрессии):

².

При строгой функциональной зависимости величина Y при данном Х = х принимает лишь одно определенное значение, то есть рассеяние около линии регрессии равно нулю.

  Линия регрессии может быть приближённо восстановлена по достаточно обширной корреляционной таблице: за приближённое значение у (х) принимают среднее из тех наблюдённых значений Y, которым соответствует значение Х = х. На рисунке изображена приближённая линия регрессии для зависимости среднего диаметра сосен от высоты в соответствии с таблицей. В средней части эта линия, по-видимому, хорошо выражает действительная закономерность. Если число наблюдений, соответствующих некоторым значениям X , недостаточно велико, то такой метод может привести к совершенно случайным результатам. Так, точки линии, соответствующие высотам 29 и 30 м, ненадёжны ввиду малочисленности материала. См. Регрессия .

  В случае К. двух количественных случайных признаков обычным показателем концентрации распределения вблизи линии регрессии служит корреляционное отношение

,

где   — дисперсия Y (аналогично определяется корреляционное отношение , но между  и  нет какой-либо простой зависимости). Величина , изменяющаяся от 0 до 1, равна нулю тогда и только тогда, когда регрессия имеет вид у (x) = m_Y , в этом случае говорят, что Y некоррелирована с X,   равняется единице в случае точной функциональной зависимости Y от X. Наиболее употребителен при измерении степени зависимости коэффициент корреляции между Х и Y

всегда —1 £ r £ 1. Однако практическое использование коэффициента К. в качестве меры зависимости оправдано лишь тогда, когда совместное распределение пары (X, Y) нормально или приближённо нормально (см. Нормальное распределение ); употребление r как меры зависимости между произвольными Y и Х приводит иногда к ошибочным выводам, т. к. r может равняться нулю даже тогда, когда Y строго зависит от X . Если двумерное распределение Х и Y нормально, то линии регрессии Y по Х и Х по Y суть прямые у = m_Y + b_Y (x — mx) и х = mx+ b_x (у — m_Y ), где  и ; b_Y и b_X именуются коэффициентами регрессии, причём

.

  Так как в этом случае

Е (Y - y (x))² = s²_Y ( 1 - r² )

и

Е (Y - x (y))² = s²_X ( 1 - r² )

  то очевидно, что r (корреляционные отношения совпадают с r² полностью определяет степень концентрации распределения вблизи линий регрессии: в предельном случае r = ± 1 прямые регрессии сливаются в одну, что соответствует строгой линейной зависимости между Y и X , при r = 0 величины не коррелированы.

Корреляция между диаметрами и высотами 624 стволов северной сосны

Диаметр, см	Высота, м	Итого
17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
14-17	2	2	5	1											10
18-21	1	3	3	12	15	9	4								47
22-25	1	1	1	3	18	24	29	14	7						98
26-29					7	18	30	43	31	3	2				134
30-33					1	5	18	29	35	18	7	1			114
34-37						1	3	17	33	26	12	6			98
38-41							2	2	10	19	16	4			53
42-45									4	13	6	8		1	32
46-49								3	3	7	6	2	1		22
50-53									1	4	4	2	1		12
54-57										1	1	1			3
58 и более											1				1
Итого	4	6	9	16	41	57	86	108	124	91	55	24	2	1	624
Средний диаметр	18,5	18,6	17,7	20,0	22,9	25,0	27,2	30,1	32,7	38,3	40,0	41,8	49,5	43,5	31,2

При изучении связи между несколькими случайными величинами X₁ ,..., X_n пользуются множественными и частными корреляционными отношениями и коэффициентами К. (последними по-прежнему в случае линейной связи). Основной характеристикой зависимости являются коэффициенты r_ij — простые коэффициенты К. между X_i и X_j , в совокупности образующие корреляционную матрицу (r_ij ) (очевидно, r_ij = r_ji и r_kk = 1). Мерой линейной К. между X₁ и совокупностью всех остальных величин X₂ ,..., X_n служит множественный коэффициент К., равный при n = 3

.

Если предполагается, что изменение величин X₁ и X₂ определяется в какой-то мере изменением остальных величин X₃ , ..., X_n , то показателем линейной связи между X₁ и X₂ при исключении влияния X_3, ..., X_n ; является частный коэффициент К. X₁ и X₂ относительно X₃ ,..., X_n , равный в случае n= 3

Множественные и частные корреляционные отношения выражаются несколько сложнее.

  В математической статистике разработаны методы оценки упомянутых выше коэффициентов и методы проверки гипотез об их значениях, использующие их выборочные аналоги (выборочные коэффициенты К., корреляционные отношения и т. п.). См. Корреляционный анализ .