Большая Советская Энциклопедия (ЛИ)

  составленную из коэффициентов Л. п. А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования и поворота будут соответственно

   и .

  Л. п. векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х®у = Ax называют Л. п., если выполняются условия А(х + у) = Ax + Ау и A(ax) = aА(х) для любых векторов х и у и любого числа a. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

  К Л. п. относится, в частности, нулевое Л. п. О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = и единичное Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

  Для Л. п. векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением Л. п. А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх).

  В силу этих определений совокупность всех Л. п. векторного пространства образует кольцо. Матрица суммы (произведения) Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности. Л. п. можно также умножать на числа: если Л. п. А переводит вектор х в вектор у = Ax, то aА переводит х в aу. Примеры операций над Л. п.: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB = 0. 2) А и В — повороты плоскости вокруг начала координат на углы j и ; AB будет поворотом на угол j + . 3) Произведение единичного Л. п. Е на число a будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) a.

  Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А^-1), если BA = Е (или AB = Е). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у, то Л. п. А^-1 переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным, называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Л. п. заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные — в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: a_ka_ika_jk = a_ka_kia_kj = 0 при i ¹ j, a_ka²_ik = a_ka²_ki = 1 (в комплексном пространстве a_ka_ikjk = a_ka_kikj = 0, a_k|a_jk|² = a_k|a_ki|² = 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, — в комплексном пространстве) Л. п. называют такое Л. п., матрица которого симметрическая: a_ij = a_ji (или (a_ij = _ij). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).

  Приведённое выше определение Л. п. в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Л. п. в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами.

  Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. P., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970.

Линейное программирование

Лине'йное программи'рование, математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств; Л. п. является одним из разделов математического программирования.

  Типичным представителем задач Л. п. является следующая: найти максимум линейной функции

   (1)

  при условиях

  , i = 1, 2, ..., m, (2)

  x_j³ 0, j = 1, 2, n, (3)

  где c_j, a_ij и b_i — заданные величины.