Большая Советская Энциклопедия (ЛИ)

  f(a) = a₁, f(b) = b₁, j (t) = j₁[f(t)].

  Такое понимание термина «Л.» наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (например, в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Л. здесь рассматривается вместе с порядком, в котором пробегает её точки переменная точка М при возрастании t, то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л. через какую-либо точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Л. может иметь кратные точки, которые проходятся несколько раз (отвечающие различным значениям параметра).

  Например, при изменении t в пределах — yen < t < yen точка с координатами

  ,

  описывает строфоиду (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 5), попадая в положение х = 0, у = 0 два раза при t = — 1 и t = + 1.

  3) Из аналитической геометрии известен и другой способ задания Л. на плоскости уравнением

  F(x, y) = 0;

  в пространстве — двумя уравнениями

  F(x, у, z) = 0, G(x, y, z) = 0.

  Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь, как строится понятие алгебраической Л. (кривой) — Л., определяемой уравнением

  F(x, y) = 0,

  где F(x, у) —целая алгебраическая функция, т. е. многочлен како-либо степени n ³ 1. В этом случае считают, что два многочлена F₁(x, у) и F₂(x, у) определяют одну и ту же алгебраическую Л. в том и только в том случае, когда существует такая постоянная с ¹ 0, что выполняется тождественно соотношение

  F₁(x, y) = cF₂(x, у).

  Таким образом, все многочлены, определяющие одну и ту же Л., имеют одну и ту же степень n, называемую порядком соответствующей Л. Например, в аналитической геометрии принято считать, что уравнение

  (х - у)² = 0

  определяет Л. второго порядка, а именно, дважды взятую прямую х — у = 0.

  В связи с последним примером необходимо заметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраических Л., т. е. таких Л., для которых многочлен не допускает представления F = GH, где G и Н — отличные от постоянных многочлены. Далее, в пункте 4, имеется в виду только этот случай.

  Говорят, что точка (x, y) кривой F(x, у) = 0 имеет кратность m, если разложение F(x, у) по степеням x = х — x, h = у — y начинается с членов степени m (по совокупности переменных x и h). В случае m = 2, т. е. в случае двойной точки

  F(x, у) = а₁₁(х — x)² + 2а₁₂(х — x) (у — y) + a₂₂(y — y)² + ...,

  где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи дискриминанта

  d = a₁₁a₂₂ — а₁₂²

  можно определить тип двойной точки (см. Особые точки).

  4) Часто, особенно при изучении алгебраической Л., целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рассматривать, наряду с точками евклидовой действительной плоскости (или пространства), точки бесконечно удалённые и мнимые. Только при таком подходе (и надлежащем учёте кратности пересечения) становится верным, например, утверждение, что две Л. порядков n и m пересекаются в mn точках. В случае m = 1 это приводит к возможности определить порядок Л. как число n точек её пересечения с прямой.

  С проективной точки зрения естественно задавать Л. на плоскости однородным уравнением

  F(x₁, x₂, x₃) = 0

  между однородными координатами x₁, x₂, x₃ её точек. В силу принципа двойственности с этим заданием равноправно задание Л. уравнением

  F(x₁, x₂, x₃) = 0,

  связывающим однородные координаты прямых, касающихся Л. Таким образом, наряду с порядком Л. (степенью уравнения F = 0) естественно возникает понятие класса Л. — степени уравнения F = 0. Класс алгебраических Л. можно также определить как число касательных, которые можно провести к Л. из произвольной точки. О параметрическом представлении Л. см. также Уникурсальные кривые.

  5) Рассмотренные выше (в пунктах 2—4) уточнения и обобщения понятия Л. существенно связаны с соответствующим алгебраическим и аналитическим аппаратом. В отличие от этого, современная топология выдвинула задачу уточнения представления о Л. как о множестве точек, независимо от алгебраического или аналитического способов задания этого множества.