Большая Советская Энциклопедия (ЛИ)

  Циссоида Диоклеса (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 6) (греч. kissoeides, от kiss'os — плющ и 'eidos — вид), геометрическое место точек М, для которых OM = PQ (Р — произвольная точка производящего круга с диаметром а). Уравнение в прямоугольных координатах: y² = х³/(а — х); в полярных координатах: r = asin² j/cos j. Древние греки рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща (откуда название); наличие бесконечных ветвей было установлено в 17 в. французским математиком Ж. П. Робервалем и независимо от него бельгийским математиком Р. Ф. Слюзом.

  Из Л. четвёртого и более высоких порядков наиболее известны:

  Кардиоида (от греч. kard'ia — сердце и 'eidos — вид) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 1), кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y² — 2ах)² = 4a(x² + y²); в полярных координатах: r = 2а (1 + cos j).

  Конхоида Никомеда (от греч. konchoeides — похожий на раковину) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 2), кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении каждого радиус-вектора точек данной прямой на одну и ту же величину d, т. о., OM = OP — d или OM' = OP + d. Если расстояние от полюса О до данной прямой равно а, то уравнение в прямоугольных координатах: (х — а)²(х² + y²) — d²x² = 0, в полярных координатах: r = a/cosj ± d. Впервые рассматривалась древнегреческим геометром Никомедом (около 250—150 до нашей эры), который использовал её для решения задач о трисекции угла и удвоении куба.

  Лемниската Бернулли (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 3) (от лат. lemniscatus, буквально — украшенный лентами), кривая, имеющая форму восьмёрки; геометрическое место точек, произведение расстояний которых от фокусов F₁ ( — а, 0) и F₂ (а, 0) равно а². уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y²)² — 2a²(x² — y²) =0, в полярных координатах: r² = 2а² cos 2j. Впервые рассматривалась Я. Бернулли(1694). Лемниската является частным случаем овалов Кассини и синус-спиралей.

  Овалы Декарта (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 4), геометрические места точек М, расстояния которых от двух фиксированных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, умноженные на данные числа, имеют постоянную сумму с, то есть mMF₁ + + nMF₂ = с. уравнение в прямоугольных координатах:

  (x + y’’ —2rx)² — l²(x² + y²) — k = 0,

  где r, l и k — некоторые постоянные, связанные с параметрами m, n и d; в полярных координатах:

  (n² — m²)(² + 2((mc — n2d cos + n²d² — с² = 0.

  Помимо фокусов F₁ и F₂, имеется и третий фокус F₃, равноправный с каждым из них. При m = 1, n = 1 овал Декарта превращается в эллипс; при m = 1 и n = —1 — в гиперболу. Частным случаем овала является также улитка Паскаля. Овалы впервые исследовались Р. Декартом (1637).

  Овалы Кассини (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 5), геометрические места точек М, произведение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Пусть F₁ и F₂ точки на оси абсцисс, F₁F₂ = 2b, а произведение MF₁xMF₂ = а². уравнение в прямоугольных координатах:

  (x² + y²)² — 2b² (a² — y²) = a⁴ — b⁴.

  Если , то овал Кассини — выпуклая кривая; если b < a < , то кривая имеет вид овала с двумя утолщениями; при а = b овал Кассини превращается в лемнискату, наконец, при b > а овал Кассини является двусвязной кривой. Впервые рассмотрена Дж. Кассини (17 в.).

  Улитка Паскаля (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 6), геометрическое место точек М и M', расположенных на прямых пучка (центр которого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., PM = PM' = а. уравнение в прямоугольных координатах: (x² + y² — 2Rx)² — а²(х² + y²) = 0, в полярных координатах: r = 2R cos j + а. При а = 2R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Название по имени французского учёного Э. Паскаля (1588—1651), впервые изучавшего её.