Большая Советская Энциклопедия (МА)

  Все те результаты, которые могут быть получены в пределах одной дедуктивной теории, могут быть также получены вычислением, производимым по данным раз навсегда правилам. Если для решения некоторого класса проблем даётся строго определённый рецепт их вычислительного решения, то говорят о математическом алгоритме . С самого создания достаточно разработанной системы математических знаков проблемы построения достаточно общих и в то же время кратких алгоритмов занимали большое место в истории М. Но только в последние десятилетия в результате развития математической логики начала создаваться общая теория алгоритмов и «алгоритмической разрешимости» математических проблем. Практические перспективы этих теорий, по-видимому, весьма велики, особенно в связи с современным развитием вычислительной техники, позволяющей заменить сложные математические алгоритмы работой машин.

  2. История математики в 19 веке и начале 20 века.

  Начало и середина 19 века. В начале 19 века происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из которых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создана ещё в 18 веке Д. Бернулли, Л. Эйлером, Ж. Д’Аламбером и Ж. Лагранжем. Быстро растут и математические запросы техники. В начале 19 века — это вопросы термодинамики паровых машин, технической механики, баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала . В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начала и середины века — К. Гаусс, Ж. Фурье , С. Пуассон , О. Коши, П. Дирихле , Дж. Грин , М. В. Остроградский . М. В. Остроградский заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных. В результате исследований по уравнениям математической физики в работах Дж. Стокса и других английских математиков возникает векторный анализ.

  Несмотря на господствовавшее в естествознании начала 19 века механистическое убеждение в возможности описать все природные явления дифференциальными уравнениями, под давлением запросов практики получает значительное дальнейшее развитие теория вероятностей. П. Лаплас и С. Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитический аппарат. П. Л. Чебышев даёт строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую теорему (1867), объединившую в одной общей формулировке известные ранее формы закона больших чисел.

  Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, чрезвычайное внимание математиков с самого начала 19 века привлекают вопросы строгого обоснования анализа (О. Коши, 1821, 1823). Н. И. Лобачевский (1834) и, позднее, П. Дирихле (1837) отчётливо сформулировали определение функции как совершенно произвольного соответствия. В 1799 К. Гаусс опубликовал первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного многочлена на действительные множители первой и второй степени). Лишь значительно позже (1831) К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел.

  На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. К. Гаусс очень много знал в этой области, но почти ничего не опубликовал. Общие основы теории были заложены О. Коши, теория эллиптических функций была развита Н. Абелем и К. Якоби . Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто алгоритмического подхода 18 века, сосредоточение внимания на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь геометрических закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, открытой О. Коши). Этот в известном смысле слова «качественный» и геометрический характер теории функций комплексного переменного ещё усиливается в середине 19 века у Б. Римана . Здесь оказывается, что естественным геометрическим носителем аналитической функции в случае её многозначности является не плоскость комплексного переменного, а так называемая риманова поверхность, соответствующая данной функции. К. Вейерштрасс достигает той же общности, что и Б. Риман, оставаясь на почве чистого анализа. Однако геометрические идеи Б. Римана оказываются в дальнейшем всё более определяющими весь стиль мышления в области теории функций комплексного переменного.