Большая Советская Энциклопедия (МА)

  В период увлечения теорией функций комплексного переменного крупнейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории функций в действительной области является П. Л. Чебышев. Наиболее ярким выражением этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854) П. Л. Чебышевым, исходившим из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений.

  В алгебре после упомянутого доказательства неразрешимости в радикалах общего уравнения пятой степени (П. Руффини , Н. Абель) Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (см. Галуа теория ). Задача общего абстрактного изучения групп ставится А. Кэли. Следует отметить, что даже в алгебре всеобщее признание значения теории групп произошло только после работ К. Жордана в 70-х годах. От работ Э. Галуа и Н. Абеля берёт начало также понятие поля алгебраических чисел, приведшее к созданию новой науки — алгебраической теории чисел. На существенно новую ступень поднимается в 19 веке и разработка старых задач теории чисел, связанных с простейшими свойствами обычных целых чисел. К. Гаусс разрабатывает (1801) теорию представимости чисел квадратичными формами, П. Л. Чебышев получает (1848, 1850) основные результаты о плотности расположения в натуральном ряде простых чисел. П. Дирихле доказывает (1837) теорему о существовании бесконечного числа простых чисел в арифметических прогрессиях и т. д.

  Дифференциальная геометрия поверхностей создаётся К. Гауссом (1827) и К. М. Петерсоном (1853). Для выработки новых взглядов на предмет геометрии основное значение, как уже было указано, имело создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Параллельно развивалась, долгое время независимо от неевклидовой геометрии, проективная геометрия (Ж. Понселе , Я. Штейнер , К. Штаудт и другие), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Ю. Плюккер строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, Г. Грасман создаёт аффинную и метрическую геометрию n -мерного векторного пространства.

  Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия по существу также освобождается от неразрывной связи с геометрией Евклида: то, что поверхность лежит в трёхмерном евклидовом пространстве, является для этой теории случайным обстоятельством. Исходя из этого, Б. Риман создаёт (1854, опубликована 1866) концепцию n -мерного многообразия с метрической геометрией, определяемой дифференциальной квадратичной формой. Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии n -мерных многообразий (см. Римановы геометрии ). Б. Риману же принадлежат и первые идеи в области топологии многомерных многообразий.

  Конец 19 века и начало 20 века. Лишь в начале 70-х годов 19 века Ф. Клейн находит модель неевклидовой геометрии Лобачевского, которая окончательно устраняет сомнения в её непротиворечивости. Ф. Клейн подчиняет (1872) всё разнообразие построенных к этому времени «геометрий» пространств различного числа измерений идее изучения инвариантов той или иной группы преобразований. В это же время (1872) работы по обоснованию анализа получают необходимый фундамент в виде строгой теории иррациональных чисел (Р. Дедекинд , Г. Кантор и К. Вейерштрасс). В 1879—84 публикуются основные работы Г. Кантора по общей теории бесконечных множеств. Только после этого могли быть сформулированы современные общие представления о предмете М., строении математической теории, роли аксиоматики и т. д. Широкое их распространение потребовало ещё нескольких десятилетий (общее признание современной концепции строения геометрии обычно связывается с выходом в свет в 1899 «Оснований геометрии» Д. Гильберта ).

  Дальнейшее углубление исследований по основаниям математики сосредоточивается на преодолении логических трудностей, возникших в общей теории множеств, и на исследовании строения математической теории и приёмов конструктивного решения математических задач средствами математической логики. Эти исследования возрастают в большой самостоятельный отдел М. — математическую логику. Основы математической логики создаются в 19 веке Дж. Булем , П. С. Порецким , Э. Шредером , Г. Фреге , Дж. Пеано и другими. В начале 20 века в этой области получены большие достижения (теория доказательств Д. Гильберта; интуиционистская логика, созданная Л. Брауэром и его последователями).