Большая Советская Энциклопедия (МА)

  Пример таблицы для совместного распределения двух количеств, признаков см. в статье Корреляция . Таблица 1а служит примером смешанного случая: материал группируется по одному качеств, признаку (принадлежность к основной выборке, произведённой для определения среднего уровня производственного процесса, и к трём выборкам, произведённым в различные моменты времени для проверки сохранения этого нормального среднего уровня) и по одному количеств, признаку (диаметр деталей).

  Простейшими сводными характеристиками распределения одного количественного признака являются среднее

  ,

и среднее квадратичное отклонение

  ,

где

 

При вычислении , S² и D по группированным данным пользуются формулами

  ,

 

или

  ,

где r — число интервалов группировки, a_k — их середины (в случае таблицы 1а — 13,07; 13,12; 13,17; 13,22 и т. д.). Если материал сгруппирован по слишком крупным интервалам, то такой подсчёт даёт слишком грубые результаты. Иногда в таких случаях полезно прибегать к специальным поправкам на группировку. Однако эти поправки имеет смысл вводить лишь при условии выполнения определённых вероятностных предположений.

  О совместных распределениях двух и большего числа признаков см. Корреляция , Корреляционный анализ , Регрессия , Регрессионный анализ .

  Связь статистических распределений с вероятностными. Оценка параметров.

  Проверка вероятностных гипотез. Выше были изложены лишь некоторые избранные простейшие приёмы статистического описания, представляющего собой довольно обширную дисциплину с хорошо разработанной системой понятий и техникой вычислений. Приёмы статистического описания интересны, однако не сами по себе, а в качестве средства для получения из статистического материала выводов о закономерностях, которым подчиняются изучаемые явления, и о причинах, приводящих в каждом отд. случае к тем или иным наблюдённым статистическим распределениям.

  Например, данные, приведённые в таблице 2а, естественно связать с такой теоретической схемой. Заболевание гриппом каждого отдельного работника универмага следует считать случайным событием, так как общие условия работы и жизни обследованных работников универмага могут определять не сам факт заболевания такого-то и такого-то работника, а лишь некоторую вероятность заболевания. Вероятности заболевания для вдыхавших сыворотку (p ₁ ) и для не вдыхавших (p ₀ ), судя по статистическим данным, различны: эти данные дают основания предполагать, что p ₁ существенно меньше p ₀ . Перед М. с. возникает задача: по наблюдённым частотам h ₁ = 4/501 » 0,008 и h ₀ = 150/1825 » 0,082 оценить вероятности p ₁ и p ₀ и проверить, достаточен ли статистический материал для того, чтобы считать установленным, что p ₁ < p ₀ (то есть что вдыхание сыворотки действительно уменьшает вероятность заболевания). Утвердительный ответ на поставленный вопрос в случае данных таблицы 2а достаточно убедителен и без тонких средств М. с. Но в более сомнительных случаях необходимо прибегать к разработанным М. с. специальным критериям.

  Данные первого столбца таблицы 1а собраны с целью установления точности изготовления деталей, расчётный диаметр которых равен 13,40 мм, при нормальном ходе производства. Простейшим допущением, которое может быть в этом случае обосновано некоторыми теоретическими соображениями, является предположение, что диаметры отдельных деталей можно рассматривать как случайные величины X , подчинённые нормальному распределению вероятностей

  P{X <x } = .   (1)

Если это допущение верно, то параметры a и s² — среднее и дисперсию вероятностного распределения — можно с достаточной точностью оценить по соответствующим характеристикам статистического распределения (так как число наблюдений n = 200 достаточно велико). В качестве оценки для теоретической дисперсии s² предпочитают не статистическую дисперсию D ² = S ² / n , а несмещенную оценку

  s ² = S² / (n - 1).

  Для теоретического среднего квадратичного отклонения не существует общего (пригодного при любом распределении вероятностей) выражения несмещенной оценки. В качестве оценки (вообще говоря, смещенной) для s чаще всего употребляют s . Точность оценок  и s для a и s указывается соответствующими дисперсиями, которые в случае нормального распределения (1) имеют вид

  s² _a = s² / n ~ s² / n ,

   ~ 2s ⁴ / n ,

   ~ s² / 2n ,

где знак ~ обозначает приближённое равенство при больших n . Таким образом, уславливаясь прибавлять к оценкам со знаком ± их среднее квадратичное отклонение, имеем при больших n в предположении нормального распределения (1):

  ,   .   (2)

Для данных первого столбца таблицы 1а формулы (2) дают

  a = 13,416 ± 0,008,

  s = 0,110 ± 0,006.

Объём выборки n = 200 достаточен для законности пользования этими формулами теории больших выборок.