Большая Советская Энциклопедия (МА)

  Таким образом, l и соответствующая относительная частота h = l / n оказываются случайными величинами, распределение которых зависит от параметра L или, что то же самое, от параметра Н = L / N . Задача оценки относительной частоты Н по выборочной относительной частоте h очень похожа на задачу оценки вероятности р по относительной частоте h при n независимых испытаниях. При больших n с вероятностью, близкой к единице, в задаче об оценке вероятности имеет место приближённое равенство р ~ h , а в задаче об оценке относительной частоты — приближённое равенство H ~ h . Однако в задаче об оценке Н формулы сложнее, а отклонения h от Н в среднем несколько меньше, чем отклонения h от р в задаче об оценке вероятности (при том же n ). Таким образом, оценка доли Н дефектных изделий в партии по доле h дефектных изделий в выборке при данном объёме выборки n производится всегда (при любом N ) несколько точнее, чем оценка вероятности р по относительной частоте h при независимых испытаниях. Когда N/n ® ¥, формулы задачи о выборке переходят асимптотически в формулы задачи об оценке вероятности р . См. также Выборочный метод .

  Дальнейшие задачи математической статистики. Упоминавшиеся выше способы оценки параметров и проверки гипотез основаны на предположении, что число наблюдений, необходимых для достижения заданной точности выводов, определяют заранее (до проведения испытаний). Однако часто априорное определение числа наблюдений нецелесообразно, так как, не фиксируя число опытов заранее, а определяя его в ходе эксперимента, можно уменьшить его математическое ожидание. Сначала это обстоятельство было подмечено на примере выбора одной из двух гипотез по последовательности независимых испытаний. Соответствующая процедура (впервые предложенная в связи с задачами приёмочного статистического контроля ) состоит в следующем: на каждом шаге по результатам уже проведённых наблюдений решают а) провести ли следующее испытание, или б) прекратить испытания и принять первую гипотезу, или в) прекратить испытания и принять вторую гипотезу. При надлежащем подборе количеств, характеристик подобной процедуры можно добиться (при той же точности выводов) сокращения числа наблюдений в среднем почти вдвое по сравнению с процедурой выборки фиксированного объёма (см. Последовательный анализ ). Развитие методов последовательного анализа привело, с одной стороны, к изучению управляемых случайных процессов , с другой — к появлению общей теории статистических решений. Эта теория исходит из того, что результаты последовательно проводимых наблюдений служат основой принятия некоторых решений (промежуточных — продолжать испытания или нет, и окончательных — в случае прекращения испытаний). В задачах оценки параметров окончательные решения суть числа (значение оценок), в задачах проверки гипотез — принимаемые гипотезы. Цель теории — указать правила принятия решений, минимизирующих средний риск или убыток (риск зависит и от вероятностных распределений результатов наблюдений, и от принимаемого окончательного решения, и от расходов на проведение испытаний и т. п.).

  Вопросы целесообразного распределения усилий при проведении статистического анализа явлений рассматриваются в теории планирования эксперимента , ставшей важной частью современной М. с.

  Наряду с развитием и уточнением общих понятий М. с. развиваются и её отдельные разделы, такие, как дисперсионный анализ , статистический анализ случайных процессов , статистический анализ многомерный . Появились новые оценки в регрессионном анализе (см. также Стохастическая аппроксимация ). Большую роль в задачах М. с. играет так называемый байесовский подход (см. Статистические решения ).