Большая Советская энциклопедия (Но)

Во многих практических вопросах при рассмотрении Н. р. пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих 3s, — т. н. правило трёх сигма (соответствующая вероятность, как видно из таблицы, меньше 0,003). Вероятное отклонение для Н. р. равно 0,67449s.

Н. р. встречается в большом числе приложений. Издавна известны попытки объяснения этого обстоятельства. Теоретическое обоснование исключительной роли Н. р. дают предельные теоремы теории вероятностей (см. также Лапласа теорема, Ляпунова теорема). Качественно соответствующий результат может быть объяснён следующим образом: Н. р. служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из которых мала по сравнению со всей суммой.

Н. р. может появляться также как точное решение некоторых задач (в рамках принятой математической модели явления). Так обстоит дело в теории случайных процессов (в одной из основных моделей броуновского движения). Классические примеры возникновения Н. р. как точного принадлежат К. Гауссу (закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (закон распределения скоростей молекул).

Совместное распределение нескольких случайных величин X₁, X₂…., X_s называется нормальным (многомерным нормальным), если соответствующая плотность вероятности имеет вид:

q_{k, l} = q_{l, k} — положительно определенная квадратичная форма. Постоянная С определяется из того условия, что интеграл от р по всему пространству равен 1. Параметры a₁…., a_s равны математическим ожиданиям X₁…., X_s соответственно, а коэффициент q_{k, l} могут быть выражены через дисперсии s₁²…., s_s² этих величин и коэффициент корреляцииs_{k, l}между X_k и X_l. Общее количество параметров, задающих Н. р., равно

(s + 1)(s + 2)/2 — 1

и быстро растет с ростом s (оно равно 2 при s = 1, 20 при s = 5 и 65 при s = 10). Многомерное Н. р. служит основной моделью статистического анализа многомерного. Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматривают также Н. р. в бесконечномерных пространствах).

О вопросах, связанных с оценкой параметров Н. р. по результатам наблюдений, см. статьи Малые выборки и Несмещенная оценка. О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы (в математической статистике).

Лит. см. при ст. Распределения.

Ю. В. Прохоров.

Кривые плотности нормального распределения для различных значений параметров а и s: I. а = 0, s = 2,5; II. a = 0, s = 1; III. a = 0, s = 0,4; IV. a = 3, s = 1.

Норм льное сеч ние

Нормльное сечние поверхности S в данной её точке М — линия пересечения S с плоскостью, проведённой через нормаль в точке М. С помощью Н. с. изучается искривление поверхности S в различных (касательных) направлениях, выходящих из точки М. Среди этих направлений имеются два (взаимно перпендикулярных) т. н. главных направления, для которых нормальная кривизна (т. е. кривизна соответствующего Н. с.) достигает наибольшего и наименьшего значений k₁ и k₂ (т. н. главные кривизны в данной точке); при этом кривизны Н. с. берутся со знаком + (или —), если направление вогнутости (см. Выпуклость и вогнутость) сечения совпадает (противоположно) с положительным направлением нормали к поверхности. Нормальные кривизны поверхности в произвольных направлениях весьма просто выражаются через главные кривизны. Именно, кривизна k_n Н. с., проведённого в направлении, составляющем угол j с первым из указанных выше главных направлений, связана с k₁ и k₂ соотношением (формула Эйлера):

k_n = k₁ cos² φ + k₂ sin² φ.

С помощью кривизн Н. с. изучаются также кривизны наклонных сечений поверхности. Именно, кривизна k наклонного сечения плоскостью a, проходящей через данную касательную прямую а, выражается формулой Менье:

где φ — угол между плоскостью a и нормалью к поверхности, k_n — нормальная кривизна поверхности в направлении прямой а. См. также Дифференциальная геометрия, Поверхностей теория, Кривизна.

Норм льное ускор ние

Нормльное ускорние, составляющая ускорения точки при криволинейном движении, направленная по главной нормали к траектории в сторону центра кривизны; Н. у. называется также центростремительным ускорением. Численно Н. у. равно v²/r, где v — скорость точки, r — радиус кривизны траектории. При движении по окружности Н. у. может вычисляться по формуле rw², где r — радиус окружности, w— угловая скорость вращения этого радиуса. В случае прямолинейного движения Н. у. равно нулю.

Норм льность