Большая Советская Энциклопедия (ОР)

Ортогне'йс (от греч. orth'os — прямой и гнейс), горная порода, образовавшаяся в результате изменения (метаморфизма) изверженных пород (гранитов, кварцевых диоритов и др.), в отличие от парагнейса, возникшего за счёт осадочных горных пород.

Ортогональная матрица

Ортогона'льная ма'трица порядка nматрица

,

произведение которой на транспонированную матрицу А' даёт единичную матрицу, то есть АА' = Е (а следовательно, и A'A = Е). Элементы О. м. удовлетворяют соотношениям:

 

или эквивалентным соотношениям:

 

  Определитель |A| О. м. равен +1 или —1. При перемножении двух О. м. снова получается О. м. Все О. м. порядка n относительно операции умножения образуют группу, называемую ортогональной. При переходе от одной прямоугольной системы координат к другой коэффициенты a_ij в формулах преобразования координат

 

  образуют О. м. См. также Унитарная матрица.

Ортогональная проекция

Ортогона'льная прое'кция, частный случай параллельной проекции, когда ось или плоскость проекций перпендикулярна (ортогональна) направлению проектирования.

Ортогональная система функций

Ортогона'льная систе'ма фу'нкций, система функций {(j_n (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом r (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что

  Примеры. Тригонометрическая система 1, cosnx, sin nx; n = 1, 2,..., — О. с. ф. с весом 1 на отрезке [—p, p]. Бесселя функции, где n = 1, 2,...,  — положительные нули J_n(x), образуют для каждого n > — ¹/₂ О. с. ф. с весом х на отрезке [0, l ].

  Если каждая функция j (х) из О. с. ф. такова, что  (условие нормированности), то такая система функций называется нормированной. Любую О. с. ф. можно нормировать, умножив j (х) на число  — нормирующий множитель.

  Систематическое изучение О. с. ф. было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений математической физики. Этот метод приводит, например, к разысканию решений Штурма — Лиувилля задачи для уравнения [r(х) у' ]' + q (x) y = lу, удовлетворяющих граничным условиям у (а) + hy'(a) = 0, y (b) + Hy' (b) = 0, где h и Н — постоянные. Эти решения — т. н. собственные функции задачи — образуют О. с. ф. с весом r (х) на отрезке [a, b ].

  Чрезвычайно важный класс О. с. ф. — ортогональные многочлены — был открыт П. Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном на базе теории интеграла и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоятельный раздел математики. Одна из основных задач теории О. с. ф.— задача о разложении функции f (x) в ряд вида , где {j_п (х)} — О. с. ф. Если положить формально , где {j_п (х)} — нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на j_п (х) r(х) и интегрируя от а до b, получим:

 (*)

Коэффициенты С_п , называемые коэффициентами Фурье функции относительно системы {j_n (x)}, обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма  наилучшим образом приближает в среднем эту функцию. Иными словами, средняя квадратичная ошибка с весом r(х):

   (*)

имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же n другими линейными выражениями вида . Отсюда, в частности, получается т. н. неравенство Бесселя

  Ряд  с коэффициентами С_п , вычисленными по формуле (*), называется рядом Фурье функции f (x) по нормированной О. с. ф. {j_n (x)}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f (x) своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для которых это имеет место, называется полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в нескольких эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f (x) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций j_k (x), то есть  в этом случае говорят, что ряд  сходится в среднем к функции f (x)]. 2) Для всякой функции f (x), квадрат которой интегрируем относительно веса r(х), выполняется условие замкнутости Ляпунова — Стеклова:

3) Не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [a, b ] квадратом, ортогональной ко всем функциям j_n (x), n = 1, 2,....