Большая Советская Энциклопедия (РИ)

  В ряде работ Р. исследовал разложимость функций в тригонометрические ряды и в связи с этим определил необходимые и достаточные условия интегрируемости в смысле Р. (см. Интеграл), что имело значение для теории множеств и функций действительного переменного. Р. также предложил методы интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными (например, с помощью так называемых инвариантов Римана и функции Римана).

  В знаменитой лекции 1854 «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1867) Р. дал общую идею математического пространства (по его словам, «многообразия»), включая функциональные и топологические пространства. Он рассматривал здесь геометрию в широком смысле как учение о непрерывных n-мерных многообразиях, т. е. совокупностях любых однородных объектов и, обобщая результаты Гаусса по внутренней геометрии поверхности, дал общее понятие линейного элемента (дифференциала расстояния между точками многообразия, см. Риманова геометрия), определив тем самым то, что называется финслеровыми пространствами. Более подробно Р. рассмотрел так называемые римановы пространства, обобщающие пространства геометрий Евклида, Лобачевского и Римана (см. Неевклидовы геометрии), характеризующиеся специальным видом линейного элемента, и развил учение об их кривизне. Обсуждая применение своих идей к физическому пространству, Р. поставил вопрос о «причинах метрических свойств» его, как бы предваряя то, что было сделано в общей теории относительности (см. Тяготение).

  Предложенные Р. идеи и методы раскрыли новые пути в развитии математики и нашли применение в механике и физике.

  Соч.: Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, 2 Aufl., N. Y., 1953; в рус. пер. — Сочинения, М. — Л., 1948.

  Лит.: Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер. с нем., ч. 1, М. — Л., 1937.

Г. Ф. Б. Риман.

Риман Карл Вильгельм Юлиус Хуго

Ри'ман (Riemann) Карл Вильгельм Юлиус Хуго (18.7.1849, Гросмельра, близ г. Зондерсхаузен, — 10.7.1919, Лейпциг), немецкий музыковед. Профессор Лейпцигского университета (с 1901), директор основанного им института музыкознания (Collegium musicum, с 1908), института музыкальной науки (с 1914). Деятельность Р. охватывает все области музыкальной теории, а также историю музыки, музыкальную эстетику и критику. При анализе музыкального произведения он привлекал данные естествознания для объяснения явлений гармонии, ритма, музыкальной формы, агогики и др. С его именем связано развитие так называемой функциональной теории в музыковедении. Опираясь на взгляды Ж. Ф. Рамо, Р. разработал систему функциональных отношений аккордов. Среди многочисленных работ Р. — «Музыкальный словарь» (1882), выдержавший затем 12 изданий и переведённый на многие языки (рус. пер. 1901), «Руководство по истории музыки» (т. 1—5, 1901—13). Труды Р. обогатили музыковедение важными теоретическими выводами, вместе с тем в них сказалась ограниченность позитивистской методологии автора, зачастую отсутствие подлинного историзма. Почётный член Национальной академии «Санта-Чечилия» в Риме (1887), королевской Академии во Флоренции (1894), Музыкальной ассоциации в Лондоне (1900), почётный доктор музыки Эдинбургского университета (1899).

  Лит.: Мазель Л., Функциональная школа, в книга: Рыжкин И., Мазель Л., Очерки по истории теоретического музыкознания, в. 1, М., 1934; История европейского искусствознания, т. 4, книги 1—2 — Вторая половина XIX в. — нач. XX в., М., 1969.

Римана геометрия