Большая Советская Энциклопедия (РИ)

Ри'мана геоме'трия, эллиптическая геометрия, одна из неевклидовых геометрий, т. е. геометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых (в значительной части) отличны от требований аксиом евклидовой геометрии. Основными объектами, или элементами, трёхмерной Р. г. являются точки, прямые и плоскости; основные понятия Р. г. суть понятия принадлежности (точки прямой, точки плоскости), порядка (например, порядка точек на прямой или порядка прямых, проходящих через данную точку в данной плоскости) и конгруэнтности (фигур). Требования аксиом Р. г., касающиеся принадлежности и порядка, полностью совпадают с требованиями аксиом проективной геометрии. Соответственно, в Р. г. имеют место, например, следующие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке), точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие через одну точку). Требования аксиом Р. г., касающиеся конгруэнтности, сходны с требованиями соответствующих аксиом геометрии: во всяком случае они обеспечивают движения фигур по плоскости и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и в пространстве Евклида. Метрические свойства плоскости Римана «в малом» совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус R этой сферы — один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Число К = 1/R² называется кривизной пространства Римана (чем меньше К, тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым). Свойства плоскости Римана «в целом» отличаются от свойств целой сферы; так, например, на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке, а на сфере два больших круга, которые играют роль прямых в сферической геометрии, пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость (т. е., если прямая а лежит в плоскости a, то любые две точки плоскости a, не лежащие на прямой а, возможно соединить отрезком, не пересекая прямой а).

  По-видимому, первое сообщение о Р. г. сделано Б. Риманом в его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854, опубликовано в 1867), где Р. г. рассматривалась как частный случай римановой геометрии — теории римановых пространств в широком смысле. Р. г. относится к теории пространств постоянной положительной кривизны.

  Лит. см. при статье Неевклидовы геометрии.

  Н. В. Ефимов.

Римана дзета-функция

Ри'мана дзе'та-фу'нкция (математическая), см. Дзета-функция.

Римана интеграл

Ри'мана интегра'л, обычный определённый интеграл. Само определение Р. и. по существу было дано О. Коши(1823), который, однако, применял его к непрерывным функциям. Б. Риман впервые указал (1853, опубликовано в 1867) необходимое и достаточное условие существования определённого интеграла, которое в современных терминах может быть выражено так: для существования определённого интеграла функции на некотором интервале необходимо и достаточно, чтобы: 1) интервал был конечным; 2) функция была на нём ограниченной и 3) множество точек разрыва функции на этом интервале имело лебеговскую меру нуль (см. Мера множества).

Римана сфера

Ри'мана сфе'ра, одно из возможных геометрических изображений совокупности комплексных чисел, введённое Б. Риманом. Комплексное число

z = х + iy = r (cos j + i sin j) = re^ij

можно изображать точками на плоскости (комплексной числовой плоскости) с декартовыми координатами х, у или полярными r, j. Для построения Р. с. проводится сфера, касающаяся комплексной числовой плоскости в начале координат; точки комплексной числовой плоскости отображаются на поверхность сферы с помощью стереографической проекции. В этом случае каждое комплексное число изображается соответствующей точкой сферы; последняя и называется сферой Римана. Число О изобразится при этом южным полюсом Р. с.; числа с одинаковым аргументом j = const (лучи комплексной числовой плоскости) изобразятся меридианами, а числа с одинаковым модулем r = const (окружности комплексной числовой плоскости) — параллелями Р. с. Северному полюсу Р. с. не соответствует никакая точка комплексной числовой плоскости. В целях сохранения взаимной однозначности соответствия между точками комплексной числовой плоскости и Р. с. на плоскости вводят «бесконечно удалённую точку», которую считают соответствующей северному полюсу и обозначают z = ¥ Т. о., на комплексной числовой плоскости имеется одна бесконечно удалённая точка, в отличие от проективной плоскости.