Большая Советская Энциклопедия (РИ)

(она называется также метрической формой, или просто метрикой, R и является по своему определению положительно определённой). Возможность преобразования координат обусловливает то, что одно и то же риманово пространство в разных координатах имеет разные выражения метрической формы, однако её величина (вследствие своего геометрического смысла как квадрата элемента длины дуги) при преобразовании координат от xⁱ к  должна оставаться неизменной:

  Это приводит к определённому закону преобразования коэффициентов g_ij как компонент дважды ковариантного тензора (см. Тензорное исчисление); он называется метрическим тензором риманова пространства.

  Каждой точке А риманова пространства R сопоставляется так называемое касательное евклидово пространство E_A, в которое отображается некоторая окрестность U точки А так, что относительное искажение расстояний стремится к нулю при приближении к точке А. Аналитически это сводится к введению вблизи некоторой точки A₀ пространства E_A таких координат, что в них квадрат линейного элемента  евклидова пространства E_A выражается в точке A₀ такой же формой , какой выражается квадрат линейного элемента риманова пространства ds² в точке А. Т. о., в пренебрежении малыми выше первого порядка окрестность точки в римановом пространстве можно заменять окрестностью точки касательного пространства.

  Простейшие понятия римановой геометрии. 1) Длина дуги s кривой  (i = 1, …, n, ) в римановом пространстве R определяется как интеграл

вдоль этой кривой (что соответствует как бы измерению длин «малым масштабом», как отметил ещё Риман). Если любые две точки пространства R соединимы кривой, то R становится метрическим пространством: расстояние r(Х, Y) между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и называется внутренней метрикой риманова пространства R.

  2) Угол между двумя исходящими из одной точки А кривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точке А.

  3) Объём V n-мерной области G риманова пространства определяется по формуле:

 где .

  Геодезические. Линии, которые в достаточно малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, называются геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве R. По определению, они являются экстремалями функционала

(см. Вариационное исчисление) и удовлетворяют уравнениям:

,

где Гⁱ_jk — так называемые Кристоффеля символы, выражающиеся через компоненты метрического тензора g_ij и их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом направлении проходит геодезическая; любые две точки А, В достаточно малой области можно соединить кратчайшей [длина её будет равна внутреннему расстоянию r(А, В) между этими точками], и притом единственной, однако единственность может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (например, полюсы сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).

  Представляет интерес (для описания периодических движений в механической задаче многих тел, например) оценка числа n замкнутых геодезических пространства R; эта задача (поставленная Ж. А. Пуанкарев 1905 в связи с некоторыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия многих математиков, ещё далека от завершения, наилучший результат: n ³ 2, если R односвязно.

  Соприкасающееся пространство. Между римановым пространством R и касательным к нему евклидовым пространством в окрестности U некоторой точки А можно установить такое соответствие, при котором оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго порядка. Для этого проводят из точки А геодезические во всех направлениях и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических, при котором длины дуг геодезических b соответствующих им лучей равны. В достаточно малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести в касательном пространстве декартовы координаты x¹,..., xⁿ и приписать их значения соответствующим точкам окрестности U, то между линейными элементами ds риманова и ds_o евклидова пространств будет такая связь:

+, где  при

i = 1, …, n.

откуда следует, что разность ds — ds_o имеет порядок не ниже, чем

.

Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициенты R_mlki характеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами так называемого тензора кривизны (или тензора Римана — Кристоффеля), определяемого по формуле

лишь через g_ik, и их производные до второго порядка.