Многие из свойств кристаллов, принадлежащих к определённым классам, описываются предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые ¥. Наличие оси ¥ означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в том числе бесконечно малый угол. Таких групп 7, они представлены на рис. 6
образцовыми фигурами и соответствующими символами. Т. о., всего имеется 32 + 7 = 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Зная группу С. к., можно указать возможность наличия или отсутствия в нём некоторых физических свойств (см. Кристаллы, Кристаллофизика).Обозначения и названия 32 групп точечной симметрии
Сингония | Обозначения | Название | Соотношение констант эле- ментарной ячейки |
международные | по Шенфлису |
Триклинная | | С1 | Моноэдрическая | а ¹ b ¹ с |
| С1 | Пинакоидальная | a ¹ b ¹ g ¹ 90° |
Моноклинная | 2 | С2 | Диэдрическая осевая | а ¹ b ¹ с |
m | Cs | Диэдрическая безосная | a = g = 90° |
2/m | C2h | Призматическая | b ¹ 90° |
Ромбическая | 222 | D2 | Ромбо-тетраэдрическая | а ¹ b ¹ с |
mm | C2u | Ромбо-пирамидальная | |
mmm | D2h | Ромбо-дипирамидальная | a = b = g = 90° |
Тетрагональная | 4 | C4 | Тетрагонально-пирамидальная | а = b ¹ с a = b = g = 90° |
422 | D4 | Тетрагонально-трапецоэдрическая |
4/m | C4h | Тетрагонально-дипирамидальная |
4mm | C4u | Дитетрагонально-пирамидальная |
4/mmm | D4h | Дитетрагонально-дипирамидальная |
| S4 | Тетрагонально-тетраэдрическая |
| D2d | Тетрагонально-скаленоэдрическая |
Тригональная | 3 | C3 | Тригонально-пирамидальная | а = b = с a = b = g ¹ 90° |
32 | D3 | Тригонально-трапецоэдрическая |
3m | C3u | Дитригонально-пирамидальная |
| C3i | Ромбоэдрическая |
| D3d | Дитригонально-скаленоэдрическая |
| C3h | Тригонально-дипирамидальная |
Гексагональная | | D3h | Дитригонально-дипирамидальная | а = b ¹ с a = b = 90° g = 120° |
6 | C6 | Гексагонально-пирамидальная |
62 | D6 | Гексагонально-трапецоэдрическая |
6/m | C6h | Гексагонально-дипирамидальная |
6mm | C6u | Дигексагонально-пирамидальная |
6/mmm | D6h | Дигексагонально-дипирамидальная |
Кубическая | 23 | T | Тритетраэдрическая | а = b = с a = b = g = 90° |
m3 | Th | Дидодекаэдрическая |
| Td | Гексатетраэдрическая |
43 | O | Триоктаэдрическая |
m3m | Oh | Гексоктаэдрическая |
Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов
(кристаллической решётки) описывается пространственными группами симметрии . Характерными для решётки операциями являются три некомпланарных переноса а, b, с, называемых трансляциями, которые задают трёхмерную периодичность атомной структуры кристаллов. Сдвиг (перенос) структуры на векторы a1, b2, c3 или любой вектор t = p1a1 + p2b2 + p3c3, где p1, p2, p3 — любые целые положительные или отрицательные числа, совмещает структуру кристалла с собой, и следовательно, является операцией симметрии, удовлетворяющей условиям (1, а, б). Параллелепипед, построенный на векторах а, b и c, называется параллелепипедом повторяемости или элементарной ячейкой кристалла (рис. 7, а, б). В элементарной ячейке содержится некоторая минимальная группировка атомов, «размножение» которой операциями симметрии, в том числе трансляциями, образует кристаллическую решётку. Элементарная ячейка и размещение в ней атомов устанавливается методами рентгеновского структурного анализа, электронографии или нейтронографии. Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах G3
3 возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляционной компонентой — винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д).