Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)

  Векторы евклидова пространства обладают следующим свойством: существуют три линейно независимых вектора, любые же четыре вектора линейно зависимы. Это свойство характеризует трехмерность рассматриваемого множества векторов. В сочетании с перечисленными выше свойствами указанное свойство означает, что совокупность всех векторов евклидова пространства образует, так называемое, векторное пространство . Линейно независимые векторы e₂ , e₂ , e₃ , образуют базис. Любой вектор а может быть единственным образом разложен по базису: а = Xe₂ + Ye₂ + Ze₃ ; коэффициенты X, Y, Z называются координатами (компонентами) вектора а в данном базисе. Если вектор а имеет координаты X, Y, Z , то это записывают так: а = íX, Y, Z ý. Три взаимно ортогональных (перпендикулярных) вектора, длины которых равны единице и которые обычно обозначают так: i, j, k , образуют, так называемый ортонормированный базис. Если эти векторы поместить началами в одну точку О, то они образуют в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Координаты X, Y, Z любой точки М в этой системе определяются как координаты вектора ОМ (рис. 5 ). Указанным выше линейным операциям над векторами отвечают аналогичные операции над их координатами: если координаты векторов а и b равны соответственно íX₁ , Y₁ , Z₁ ý и íX₂ , Y₂ , Z₂ ý, то координаты суммы а +b этих векторов равны íX₁ + X₂ , Y₁ + Y₂ , Z₁ + Z₂ ý, координаты вектора la равны ílX₁ + lY₁ + lZ₁ ý.

  Развитие и применение векторной алгебры тесно связано с различными типами векторных произведений: скалярного, векторного и смешанного. Понятие скалярного произведения векторов возникает, например, при рассмотрении работы силы F на заданном пути S : работа равна |F ||S |cosj, где j — угол между векторами F и S . Математически скалярное произведение векторов а и b определяется как число, обозначаемое (а , b ) и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

  (a , b ) = |a ||b |cosj.

  Величина |b |cosj называется проекцией вектора b на ось, определяемую вектором а , и обозначается пр_a b . Поэтому (a, b ) = |a |пр_a b . В частности, если a — единичный вектор (|a | = 1 ), то (а, b ) = пр_a b . Очевидны следующие свойства скалярного произведения:

  (а , b ) = (b , а ), (lа , b ) = l (а , b ),

  (а +b , с ) = (а , с ) + (b , с ), (a , а ) ³ 0,

  причём равенство нулю имеет место лишь приa =0 . Если в ортонормированном базисе i, j, k векторы а и b имеют соответственно координаты íX₁ , Y₁ , Z₁ ý и íХ₂ , Y₂ , Z₂ ý, то     (a , b ) = X₁ X₂ + Y₁ Y₂ + Z₁ Z_2,

 

  Для определения векторного произведения векторов нужно понятие левой и правой упорядоченной тройки векторов. Упорядоченная тройка векторов а, b, с (а — первый вектор, b — второй, с — третий), приведённых к общему началу и не лежащих в одной плоскости, называется правой (левой), если они располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки. На рис. 6 изображены справа — правая, а слева — левая тройки векторов.

  Векторным произведением векторов a и b называют вектор, обозначаемый [a, b ] и удовлетворяющий следующим требованиям: 1) длина вектора [a, b ] равна произведению длин векторов a и b на синус угла j между ними (таким образом, если a и b коллинеарны, то [a, b ] = 0 ); 2) если a и b неколлинеарны, то [a, b ] перпендикулярен каждому из векторов a и b и направлен так, что тройка векторов a , b, [a, b ] является правой. Векторное произведение обладает следующими свойствами:

[a , b ] = — [b , а ], [(la ), b ] = l [a , b ],

[с , (a +b )] = [с , a ] + [с , b ], [a , [b , с ]] =b (a , с ) — с (a , b ),

([a , b ], [с , d ]) = (a , c )(b , d ) — (a , d )(b , c ).

  Если в ортонормированном базисе i, j, k , образующем правую тройку, векторы a и b имеют соответственно координаты íX₁ , Y₁ , Z₁ ý и íX₂ , Y₂ , Z₂ ý, то [a, b ] = íY₁ Z₂ — Y₂ Z₁ , Z₁ X₂ — Z₂ X₁ , X₁ Y₂ — X₂ Y₁ ý. Понятие векторного произведения связано с различными вопросами механики и физики. Например, скорость v   точки М тела, вращающегося с угловой скоростью со вокруг оси l, равна [w, r ], где 

  Смешанным произведением векторов a, b и c называется скалярное произведение вектора [a, b ] на вектор с : ([a, b ], с ). Обозначается смешанное произведение символомabc . Смешанное произведение не параллельных одной плоскости векторов a , b и с численно равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a , b и с , взятому со знаком плюс, если тройка a , b и с правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы a , b и с параллельны одной плоскости, тоabc = 0 . Справедливо также следующее свойствоabc =bca =cab . Если координаты векторов a , b и с в ортонормированном базисе i, j, k , образующем правую тройку, соответственно равны íX₁ , Y₁ , Z₁ ý, íX₂ , Y₂ , Z₂ ý и íХ₃ , Y₃ , Z₃ ý, то