Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)

  Вектор-функции скалярных аргументов. В механике, физике, дифференциальной геометрии широко используется понятие вектор-функции одного или нескольких скалярных аргументов. Если каждому значению переменной t из некоторого множества ít ý ставится в соответствие по известному закону определённый вектор r , то говорят, что на множестве ít ý задана вектор-функция (векторная функция) r =r (t ). Так как вектор r определяется координатами íx, y, z ý, то задание вектор-функции r = r (t ) эквивалентно заданию трёх скалярных функций: х = x (t ), y = y (t ), z = z (t ). Понятие вектор-функции становится особенно наглядным, если обратиться к так называемому годографу этой функции, то есть к геометрическому месту концов всех векторов r (t ), приложенных к началу координат О (рис. 7 ). Если при этом рассматривать аргумент t как время, то вектор-функция r (t ) представляет собой закон движения точки М, движущейся по кривой L — годографу функции r (t ).

  Для изучения вектор-функций важную роль играет понятие производной. Это понятие вводится следующим образом: аргументу t придаётся приращение Dt ¹ 0 и вектор Dr =r (t + Dt ) — r (t ) (на рис. 7 это вектор ) множится на 1/Dt . Предел выражения Dr /Dt при Dt ® 0 называется производной вектор-функции r (t ) и обозначается r ' (t ) или dr /dt . Производная представляет собой вектор, касательный к годографу L в данной точке М. Если вектор-функция рассматривается как закон движения точки по кривой L, то производная r ' (t ) равна скорости движения этой точки. Правила вычисления производных различных произведений вектор-функций подобны правилам вычисления производных произведений обычных функций. Например,

  (r₁ , r ₂ )' = (r '₁ , r ₂ ) + (r₁ , r '₂ ),

  [r₁ , r ₂ ]’ = [r '₁ , r ₂ ] + [r₁ , r '₂ ].

  В дифференциальной геометрии вектор-функции одного аргумента используются для задания кривых. Для задания поверхностей пользуются вектор-функциями двух аргументов.

  Векторный анализ. В механике, физике и геометрии широко используются понятия скалярного и векторного поля. Температура неравномерно нагретой пластинки, плотность неоднородного тела представляют собой физические примеры соответственно плоского и пространственного скалярного поля. Векторное поле образует множество всех векторов скоростей частиц установившегося потока жидкости. Примерами векторных полей могут служить также поле силы тяжести, магнитное и электрическое напряжение электромагнитного поля.

  Для математического задания скалярных и векторных полей используются соответственно скалярные и векторные функции. Ясно, что плотность тела представляет собой скалярную функцию точки, а поле скоростей частиц установившегося потока жидкости — векторную функцию точки. Математический аппарат теории поля обычно называют векторным анализом. Для геометрической характеристики скалярного поля используются понятия линий и поверхностей уровня. Линией уровня плоского скалярного поля называется линия, на которой функция, задающая поле, имеет постоянное значение. Аналогично определяется поверхность уровня пространственного поля. Примерами линии уровня могут служить изотермы — линии уровня скалярного поля температур неравномерно нагретой пластинки.

  Обратимся к поверхности (линии) уровня скалярного поля, проходящей через данную точку М. При смещении по нормали к этой поверхности (линии) в точке М наблюдается максимальное изменение в этой точке функции f задающей поле. Это изменение характеризуется с помощью градиента скалярного поля. Градиент представляет собой вектор, направленный по нормали к поверхности (линии) уровня в точке М в сторону возрастания f этой точке. Величина градиента равна производной f указанном направлении. Обозначается градиент символом grad f . В базисе i, j k градиент grad f имеет координаты

 

  для плоского поля координаты градиента равны

 

  Градиент скалярного поля представляет собой векторное поле.

  Для характеристики векторных полей вводится целый ряд понятий: векторной линии, векторной трубки, циркуляции векторного поля, дивергенции и вихря (ротора) векторного поля. Пусть в некоторой области W задано векторное поле посредством векторной функции а (М ) переменной точки М из W . Линия L в области W называется векторной линией, если вектор касательной в каждой её точке М направлен по вектору а (М ) (рис. 8 ). Если поле а (М ) — поле скоростей частиц стационарного потока жидкости, то векторные линии этого поля — траектории частиц жидкости. Часть пространства в W , состоящая из векторных линий, называется векторной трубкой (рис. 9 ). Если обратиться к векторному полю скоростей частиц стационарного потока жидкости, то векторная трубка есть часть пространства, которую «заметает» при своём перемещении некоторый фиксированный объём жидкости.

  Пусть АВ — некоторая гладкая линия в W , l — длина дуги АВ, отсчитываемая от точки А до переменной точки М этой линии, t — единичный вектор касательной к АВ в М. Циркуляцией поля а (М ) вдоль кривой АВ называется выражение