Большое космическое путешествие

Предложив свою постоянную, Планк положил начало квантовой физике; в то же время Макс Планк является и отцом-основателем квантовой механики. Обратите внимание на первый член в скобках: 2hc²/λ⁵. Что происходит с энергией по мере увеличения длины волны? Она падает. С ростом λ член 1/λ⁵ стремится к нулю. При больших λ член hc/λkT уменьшается. Математик сказал бы, что e^x по мере уменьшения x становится примерно равен 1 + x.Так, при больших λ член hc/λkT уменьшается, а член e^hc/λ^kTстановится примерно равен 1 + hc/λkT, и, если вычесть отсюда 1, член (ehc/λkT–1) становится равен hc/λkT. Соответственно в пределе, когда λ становится большим, все выражение приобретает вид Iλ(T) = (2hc²/λ⁵)/(hc/λkT)= 2ckT/λ⁴. Это тождество было известно и до Планка. Оно называлось «Закон Рэлея – Джинса» в честь открывших его лорда Рэлея и сэра Джеймса Джинса. По мере роста λ интенсивность Iλ начинает падать в строгом соответствии с формулой 1/λ⁴.Что происходит, когда мы двигаемся в сторону все более коротких волн? По мере уменьшения λ⁴ 1/λ⁴ возрастает, в результате чего уравнение рушится (перестает согласовываться с экспериментами). В свое время это явление было названо «ультрафиолетовая катастрофа». Здесь явно была какая-то ошибка. Вильгельм Вин сформулировал закон, объяснявший экспоненциальный спад при малых длинах волн и согласовывавшийся с данными в коротковолновом диапазоне, но не согласовывавшийся в длинноволновом. Мы не имели четкого представления об этих температурных кривых абсолютно черного тела вплоть до 1900 года, когда Макс Планк вывел формулу, согласовывавшуюся с данными и в коротковолновом, и в длинноволновом пределе спектра, а также везде между ними. Формула содержит постоянную h, которая позволяет квантовать энергию так, что любая энергия учитывается в виде дискретных пучков. Если трактовать энергию как дискретные пучки, то по мере перехода ко все более коротким волнам формула Планка начинает возрастать по экспоненте и член 1/λ⁵ превращается в ничто. Когда λ мала, hc/λkT возрастает, а число e, возведенное в такую степень (e^hc/λ^kT), очень быстро становится очень большим. Оно настолько больше –1, что этот член можно игнорировать, а при e^hc/λ^kTв знаменателе ответ получается маленьким. Две эти части уравнения, член 1/λ⁵ и член 1/e^hc/λ^kT, словно состязаются друг с другом. По мере того как λ стремится к нулю, 1/e^hc/λ^kTстремится к нулю гораздо быстрее, чем успевает расти член 1/λ⁵, поэтому и вся кривая стремится к нулю. Без экспоненциального члена вся формула быстро устремилась бы к бесконечности, а длина волны – к нулю, но эксперименты показывают, что на практике это не подтверждается. Феномен кванта потребовался, чтобы понять природу теплового излучения, и уравнение Планка объясняет устройство этих кривых.

Формула Планка позволила все это учесть. Она верно показывает, где будет пик кривой. Исаак Ньютон изобрел математику, позволяющую вычислить пик функции: там, где крутизна кривой стремится к нулю при максимальном значении этой кривой. Ньютоновское дифференциальное исчисление позволяет взять производную функции и найти это место. В таком случае получим очень простой ответ: λ_пик = C/T, где C – новая константа, которую можно вывести из констант исходного уравнения. C = 2,898 мм, если T выражена в кельвинах. Где будет пик? Если T = 2,7 К, как в случае с РИ, то λ_пик будет чуть выше 1 мм или 0,1 см. Можно в этом убедиться, сверившись с кривой РИ на рис. 5.1. Человек примерно в 100 раз горячее; пик человеческого излучения приходится примерно на 0,001 см (см. рис. 5.1), в инфракрасном диапазоне.

Это красиво. С повышением температуры постоянно уменьшается длина волны, при которой кривая достигает пикового значения. Чтобы в этом убедиться, достаточно всего лишь рассмотреть свойства уравнения λ_пик = C/T. При T в знаменателе имеем, что вдвое более горячее тело даст пик функции при вдвое меньшей длине волны (эту зависимость обнаружил Вильгельм Вин, поэтому она называется «закон Вина»).

Как определить общую энергию на единицу времени на единицу поверхности, соответствующую площади под одной из этих кривых? Мне потребовалось бы просуммировать вклад от всех различных длин волн, то есть всю площадь под конкретной кривой. Для этого можно воспользоваться интегральным исчислением – опять же, спасибо Исааку Ньютону. Если интегрировать функцию Планка по всем длинам волн, то получится еще одно красивое уравнение.