Большое космическое путешествие

Общая энергия, излучаемая в секунду на единицу площади = σT⁴, где σ = 2π⁵k⁴/(15c²h³) = 5,67 × 10^–8 ватт на квадратный метр, причем T – это температура в кельвинах. Перед нами закон Стефана – Больцмана. Йозеф Стефан и Людвиг Больцман были двумя титанами физики XIX века. К сожалению, Больцман свел счеты с жизнью, когда ему было 62 года. Но сохранился этот закон. Если интегрировать функцию Планка, то получится значение постоянной (греческая буква «сигма»). Это колоссально. Как Стефану и Больцману удалось сформулировать этот закон, если Планк еще не вывел свою формулу? Стефан открыл закон экспериментально, а Больцман сформулировал, исходя из соображений о термодинамике.

Если общая энергия, излучаемая в секунду на единицу площади равна σT⁴, то, если удвоить температуру, поток излучаемой энергии возрастет с коэффициентом 2⁴ = 16.Утроим температуру, и что получится? 3⁴ = 81.Учетверим – и получится 4⁴ = 256.Эта тенденция прослеживается на рис. 5.1, где видно, насколько увеличиваются кривые при возрастании температуры.

Вот как можно запомнить принцип работы этой формулы. Допустим, мы взяли какое-то количество теплового излучения и положили его в коробочку. Теперь будем медленно сжимать коробочку, пока она не станет вдвое меньше. Количество фотонов в коробочке останется тем же, но объем коробочки уменьшится в 8 раз и, соответственно, количество фотонов на кубический сантиметр возрастет в 8 раз. Но при сжатии коробочки длина волны каждого фотона также укорачивается вдвое. В результате тепловое излучение коробочки становится вдвое жарче, так как пиковое значение длины волны уменьшилось вдвое. Удваивается энергия каждого фотона и, соответственно, энергия коробочки. Увеличение энергии каждого фотона происходит за счет той энергии, что затрачивается на сжатие коробочки, эта энергия противодействует давлению излучения, что внутри коробочки. Таким образом, плотность энергии в коробочке будет в 8 × 2 = 16 раз выше, чем ранее, а 16 = 2⁴. Следовательно, энергетическая плотность теплового излучения пропорциональна температуре в четвертой степени, или T⁴.

Давайте определимся еще с некоторыми терминами. Светимость – это общая энергия, излучаемая звездой в единицу времени. Светимость измеряется в ваттах, точно как у лампочки накаливания. Светимость 100-ваттной лампочки равна 100 ватт. Светимость Солнца равна 3,8 × 10²⁶ ватт. Мощная такая лампочка.

Теперь предложу задачку. Допустим, Солнце обладает такой же светимостью, что и другая звезда, чья поверхностная температура – 2000 К. Какова температура Солнца? В данном примере давайте округлим ее до 6000 К. Температура другой звезды всего 2000 К, то есть она гораздо прохладнее и не может излучать столько же энергии на единицу площади в единицу времени, сколько Солнце, но я заявляю, что светимость у этой звезды точно как у Солнца. Как такое может быть? Беру вторую звезду, вырезаю с нее лоскут площадью 1 см², с температурой 2000 К, затем вырезаю с Солнца такой же лоскут площадью 1 см², с температурой 6000 К – втрое жарче. Сколько энергии в единицу времени будет излучать такой лоскут на Солнце по сравнению с лоскутом такой же площади на звезде с температурой 2000 К? В 81 раз больше энергии. Каким же образом вторая звезда может излучать в секунду такую же суммарную энергию, как и Солнце? Если у этих звезд одинаковая светимость, то они должны отличаться чем-то еще, кроме температуры. Дело в том, что вторая звезда, сравнительно холодная, должна иметь гораздо более обширную поверхностную площадь, с которой льется излучение. Фактически ее поверхностная площадь должна быть в 81 раз больше, чем у Солнца. Это должен быть красный гигант, который за счет огромной поверхностной площади восполняет дефицит температуры. Теперь вернемся к нашим уравнениям. Чему равна площадь поверхности сферы? Она равна 4πr², где r – радиус сферы. Возможно, вы изучали это уравнение в средней школе. Дальше начинается самое интересное. Если светимость – это энергия, излучаемая в единицу времени, а энергия, излучаемая в единицу времени на единицу площади, равна σT⁴, то мы получили уравнение, позволяющее вычислить светимость Солнца:

L_Солн = σT_Солн⁴ × (4πr_Солн²).

Можно составить схожее уравнение и для другой звезды. Обозначим ее светимость звездочкой, L_*. В таком случае уравнение для вычисления светимости этой звезды – L_* = σT_*⁴ × (4πr_*²). Теперь у меня есть уравнения для обеих. Более того, я постулировал, что L_Солн равна L_*. Я привел именно такой пример, чтобы подчеркнуть, что мне даже не требуется знать поверхностную площадь Солнца – в данной задаче речь идет лишь о соотношениях величин. Можно удивительно много узнать о Вселенной, просто присмотревшись к соотношениям.