Большое, малое и человеческий разум

Задача значительно осложняется при попытке заполнения плоскости плитками полиомино более сложной формы, показанными на рис. 3.12 (именно к этой ситуации относится теорема Роберта Бергера). Дело в том, что три типа показанных на рисунке плиток покрывают плоскость целиком, однако эту операцию нельзя осуществить таким образом, чтобы узор повторялся! На каждом этапе процесс заполнения определяется вашим выбором продолжения, в результате чего очень трудно установить порядок действий. Тем не менее операция, безусловно, выполнима, и именно существование таких вариантов заполнения плоскости привело Бергера к формулировке теоремы, из которой следует, что для моделирования развития даже этой игрушечной вселенной невозможно выработать вычислительную программу.

Рис. 3.12. Набор из трех типов плиток полиомино может заполнить плоскость целиком, но заполняющий узор не обладает периодичностью.

А как обстоят дела с описанием настоящей, большой Вселенной? В гл. 2 я уже немало говорил о фундаментальных недостатках существующей физической картины мира. Подумайте, нет ли в физической теории каких-то проблем, заставляющих вспомнить о невычислимости некоторых операций? У меня есть основания считать, что квантовая теория гравитации в своем правильном виде должна быть именно невычислимой. Я говорю об этом вполне серьезно и продемонстрирую вам, что проблема невычислимости возникает, по крайней мере, в двух независимых направлениях развития квантовой гравитации, причем именно тогда, когда мы рассматриваем квантовые суперпозиции четырехмерных пространств-времен (в большинстве существующих теорий используется лишь суперпозиция трехмерных пространственных состояний).

Рассмотрим сначала так называемую схему Героха-Хартля для квантовой гравитации, которая с самого начала содержит элемент невычислимости, поскольку одним из используемых в ней математических положений является доказанная Марковым невозможность вычислительной классификации четырехмерных топологических складок. Я не буду вдаваться в сложные технические детали, но хочу еще раз подчеркнуть, что невычислимость возникает естественным образом при объединении общей теории относительности и квантовой механики.

В качестве второго примера появления невычислимости в теориях квантовой гравитации можно сослаться на результаты, содержащиеся в препринте одной из работ Дэвида Дейча. К моему глубокому удивлению, в полном тексте статьи, опубликованной позднее, я не обнаружил этих данных! Я специально беседовал с автором на эту тему, и он заверил меня, что опустил эти результаты не из-за их ошибочности, а лишь потому, что они были не очень важны для статьи в целом. Он считает, что забавные суперпозиции пространства-времени (которые мы должны рассматривать хотя бы в качестве гипотетически возможных) возникают вследствие того, что некоторые из потенциально возможных вселенных могут образовывать замкнутые пространственно-временные линии (рис. 3.13). В таких ситуациях всякие каузальные (причинно-следственные) связи полностью теряют смысл, причины и следствия «бегут по замкнутому кругу», а прошлое и будущее просто перемешиваются друг с другом. Хотя все это выглядит совершенно нереальным и противофактическим, оно (как и в задаче гл. 2, связанной с испытанием бомб) может влиять на действительные события. Я не считаю эти рассуждения достаточно серьезными и убедительными, однако они показывают, что какие-то невычислимые операции могут легко обнаружиться и в совершенно правильных теоретических построениях.

Рис. 3.13. При достаточно строгом заполнении пространства-времени световыми конусами могут возникать замкнутые времениподобные мировые линии.

Далее мне хотелось бы обсудить еще один достаточно сложный вопрос. Выше я подчеркивал, что детерминизм и вычислимость представляют собой разные понятия, и это подводит нас к проблеме свободы воли. В классической философии свобода воли всегда рассматривалась в теснейшей связи с детерминизмом. Вы и сами, наверняка, сталкивались с этой проблемой и размышляли о том, насколько наше будущее определяется нашим прошлым и т. п. Мне кажется, что есть масса других более интересных и важных вопросов, например: «Определяется ли наше будущее нашим прошлым вычислимым образом?».