Был ли Бог математиком?

Стремясь разобраться в эволюции Вселенной, ученые обычно подходят к этой проблеме с обеих сторон. Одни начинают с тончайших колебаний ткани мироздания в первичной Вселенной, другие изучают все подробности нынешнего состояния Вселенной. Первые разрабатывают масштабные компьютерные модели, которые показывают, как Вселенная развивалась с течением времени. Вторые занимаются детективной работой – пытаются дедуктивно вычислить прошлое Вселенной по множеству характеристик ее нынешнего состояния. Примерно таковы и отношения между теорией вероятности и статистикой. В теории вероятности заданы переменные и первоначальное состояние, и ее цель – предсказать наиболее вероятный конечный результат. В статистике известен результат, но не определены причины, которые к нему привели.

Рассмотрим простой пример того, как эти две области встречаются, так сказать, посередине и дополняют друг друга. Начнем с того факта, что статистические исследования показывают, что измерения самых разных физических величин и даже человеческих черт распределяются согласно кривой нормального распределения. Но на самом деле кривая нормального распределения – это не какая-то одна кривая, а целое семейство кривых, описываемых одной и той же общей функцией, и все они полностью характеризуются всего двумя математическими величинами. Первая из них – среднее значение – это центральное значение, относительно которого распределение симметрично. Эта величина зависит, разумеется, от того, какую именно переменную измеряют (рост, вес, IQ и так далее). Среднее значение одной и той же переменной может быть разным в разных популяциях. Например, средний рост шведов, скорее всего, отличается от среднего роста перуанцев. Вторая величина, определяющая кривую нормального распределения, называется стандартным отклонением. Это мера того, насколько тесно данные сосредоточены вокруг среднего значения. На рис. 36 у кривой нормального распределения (а) самое большое стандартное отклонение, поскольку значения рассеяны шире. Однако тут мы сталкиваемся с интересным фактом. Если с помощью интегрирования сосчитать площадь под кривой, легко математически доказать, что независимо от среднего значения и величины стандартного отклонения, 68,2 % измерений лежат в области, ограниченной одним стандартным отклонением по обе стороны от среднего значения (рис. 37). Иначе говоря, если среднее значение IQ в определенной (крупной) популяции равно 100, а стандартное отклонение равно 15, то 68,2 % людей в этой популяции обладают IQ между 85 и 115. Более того, для всех кривых нормального распределения 95,4 % всех случаев лежат в пределах двух стандартных отклонений от среднего, а 99,7 % данных попадают в пределы трех стандартных отклонений по обе стороны от среднего (рис. 37). Из этого следует, что в вышеприведенном примере 95,4 % популяции обладают IQ между 70 и 130, а 99,7 % – между 55 и 145.

Теперь предположим, что мы хотим предсказать, какова вероятность, что у случайно выбранного человека из этой популяции IQ окажется между 85 и 100. Рис. 37 подсказывает нам, что эта вероятность – 0,341 (или 34,1 %), поскольку по законам теории вероятности вероятность – это количество желаемых результатов, деленное на общее количество возможностей. А если нам интересно выяснить, какова вероятность, что кто-то (случайно выбранный) из этой популяции обладает IQ выше 130, то взгляд на рис. 37 покажет, что эта вероятность равна примерно 0,022, то есть 2,2 %. Примерно так же, опираясь на свойства нормального распределения и на метод интегрального исчисления (для вычисления площади под кривой), можно вычислить вероятность, что значение IQ попадет в тот или иной заданный диапазон. Иными словами, ответы нам дают теория вероятности и ее половинка-помощница статистика – в сочетании.

Как я уже не раз подчеркивал, вероятность и статистика обретают смысл, если имеешь дело с большим количеством событий, но не с отдельными событиями. Этой фундаментальной оговоркой, известной как закон больших чисел, мы обязаны Якобу Бернулли, который сформулировал ее в виде теоремы в своей книге «Ars Conjectandi» («Искусство предположений»; на рис. 38 приведен титульный лист)[95]. В переводе на обыденный язык теорема гласит, что если вероятность, что событие случится, равна p, то p – это самое вероятное соотношение количества случаев, когда это событие происходит, к общему числу попыток. Если же общее число попыток приближается к бесконечности, то доля успешных попыток становится в точности равна p. Вот как Бернулли формулирует закон больших чисел в «Искусстве предположений»: «Еще предстоит выяснить, увеличиваем ли мы при увеличении числа наблюдений и вероятность, что регистрируемое соотношение желаемых случаев к нежелательным приблизится к подлинному значению, и тогда эта вероятность в конце концов превзойдет всякую желаемую точность». Затем он пояснил это на конкретном примере[96].

Рис. 36

Рис. 37