Был ли Бог математиком?

Рассмотрим интереснейший пример, который Паскаль исследует в письме, датированном 29 июля 1654 года (Todhunter 1865, Hald 1990). Представьте себе двух аристократов, которые играют в кости, бросая один-единственный кубик. Каждый игрок положил на стол по 32 золотых пистоля. Первый игрок загадал число 1, второй – число 5. Каждый раз, когда на кубике выпадает загаданное игроком число, он получает одно очко. Побеждает тот, кто первым наберет три очка. Однако предположим, что с начала игры число 1 выпадало уже дважды, то есть игрок, загадавший его, получил уже два очка, а число 5 – лишь один раз, то есть его противник получил всего лишь одно очко. Если игра по какой-то причине в этот момент прерывается, как разделить между игроками 64 пистоля? Паскаль и Ферма нашли математически логичный ответ. Если бы игрок, набравший два очка, выиграл при следующем броске, то получил бы все 64 пистоля. Если бы при следующем броске выиграл второй игрок, то у каждого стало бы по два очка, и каждый, следовательно, получил бы по 32 пистоля. Поэтому, если игроки расходятся, не совершив следующего броска, первый игрок мог бы по справедливости сказать: «Я точно получу 32 пистоля, даже если проиграю этот бросок, а что касается остальных 32 пистолей, то их получу либо я, либо вы, наши шансы равны. Так что давайте поделим эти 32 пистоля поровну, а мне отдадим еще и те 32 пистоля, в которых я уверен». Иначе говоря, первый игрок должен получить 48 пистолей, а второй – 16 пистолей. Просто не верится, что из этих тривиальных на вид рассуждений родилась глубочайшая научная дисциплина! Однако именно по этой причине математика и обладает непостижимой и необъяснимой эффективностью, именно поэтому она так загадочна.

Суть теории вероятности можно уяснить из следующих простых фактов[90]. Никто не может точно предсказать, какой стороной вверх упадет подброшенная монетка. Даже если десять раз подряд выпадала решка, это ни на йоту не поможет нам точно предсказать, что выпадет в следующий раз. Однако мы можем совершенно точно предсказать, что если бросить монетку десять миллионов раз, то с очень небольшими отклонениями в половине случаев выпадет орел, а в половине – решка. Более того, в конце XIX статистик Карл Пирсон, набравшись терпения, подбросил монетку 24 000 раз. Решка выпала в 12 012 случаев. В некотором смысле теория вероятности к этому и сводится. Теория вероятности снабжает нас точной информацией о том, как будет выглядеть совокупность результатов большого количества экспериментов, но никогда не предсказывает результат какого-то одного конкретного эксперимента[91]. Если эксперимент может дать n возможных результатов, причем шансы получить каждый из них равны, то вероятность каждого результата равна 1/n. Если бросить кость, не жульничая, то вероятность получить число 4 равна 1/6, поскольку у игральной кости шесть сторон и шансы на то, что выпадет та или иная из них, равны. Представьте себе, что вы бросили кость семь раз подряд и каждый раз получали 4 – какова вероятность получить 4 в результате следующего броска? Теория вероятности дает на это четкий и ясный ответ: вероятность по-прежнему равна 1/6, потому что кость ничего не помнит и все разговоры о «счастливой звезде» и о том, что следующий бросок возместит прежний перекос, не более чем мифы. А правда состоит в том, что если бросить кость миллион раз, результаты выровняются по средним значениям, и 4 будет выпадать почти точно в 1/6 части случаев.

Рассмотрим несколько более сложную ситуацию. Предположим, вы одновременно бросаете три монеты. Какова вероятность получить две решки и одного орла? Ответ мы получим, если переберем все возможные варианты. Обозначим орлов О, а решки Р и получим восемь возможных вариантов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР и ООО. Легко убедиться, что варианту «две решки, один орел» соответствует три комбинации. Следовательно, вероятность этого события 3/8. А в общем виде, если из n результатов с равными шансами m соответствуют событию, которое вас интересует, то вероятность такого составляет m/n. Обратите внимание, что это значит, что вероятность принимает значения от 0 до 1. Если интересующее вас событие не может произойти, то m = 0 (никакой результат ему не соответствует) и вероятность равна нулю. Если же событие произойдет совершенно точно, значит, ему соответствуют все n результатов (m = n) и вероятность попросту составляет n/n = 1. Результаты броска трех монет свидетельствуют и еще об одной существенной особенности теории вероятностей: если у вас есть несколько событий, полностью независимых друг от друга, то вероятность, что произойдут они все, – это произведение отдельных вероятностей. Например, вероятность получить три орла равна 1/8, что равно произведению трех вероятностей получить орла на каждой из трех монет: 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8.