Человеческое познание его сферы и границы

Во-первых, при каких условиях можно распространить это определение на бесконечные совокупности? Поскольку мы определили вероятность как дробь, а дроби не имеют смысла, когда числитель и знаменатель бесконечны, постольку наше определение можно расширить только в том случае, когда имеются какие-то средства перейти к пределу. Это требует, чтобы все о, в отношении которых мы должны установить вероятность того, что они суть b, представляли бы собой последовательность, являющуюся на деле рядом (progression), так чтобы они были даны как а1, a2, a3, … an, где для каждого конечного целого числа n существовало бы соответствующее an, и наоборот. Мы можем тогда обозначить через «Pn» пропорцию всех а до an, включительно, которые принадлежат b. Если, по мере того, как n увеличивается, pn стремится к пределу, то мы можем определить этот предел как вероятность того, что а будет b. Этот предел зависит от порядка следования всех о и поэтому является пределом их как последовательности, а не как класса. Мы должны, однако, отличать случай, в котором значение Pn как бы колеблется около своего предела, от случая, в котором оно стремится к пределу только с одной стороны. Если мы многократно бросаем монету, то число выпадений лицевой стороны будет иногда больше половины всех бросаний, а иногда меньше; таким образом, pn как бы колеблется около предела 1/2. Но если мы возьмем пропорцию простых чисел до n (среди всех чисел меньших), то она стремится к пределу нуль только с одной стороны: для любого конечного n величина pn есть определенная положительная дробь, которая для больших значений n приблизительно равна 1/1п n. Однако 1/1n n стремится к нулю по мере того, как n бесконечно возрастает. Таким образом, пропорция простых чисел стремится к нулю, но мы не можем сказать, что «ни одно целое число не является простым»; мы можем сказать, что шанс того, что целое число будет простым числом, является бесконечно малым, но не нулем. Ясно, что шанс того, что целое число будет простым, будет больше, чем шанс того, что оно будет, скажем, и четным и нечетным, хотя этот шанс меньше, чем любая конечная дробь, как бы мала она ни была. Я сказал бы, что когда шанс, что некое о есть b, равняется нулю, мы можем сделать вывод, что «ни одно а не есть b», но когда этот шанс бесконечно мал, мы не можем сделать такого вывода.

Следует заметить, что если мы только не делаем какого-либо предположения о ходе вещей в природе, мы не можем использовать этот метод стремления к пределу, когда имеем дело с последовательностью, которая определена эмпирически. Например, если мы многократно бросаем данную монету и обнаруживаем, что число выпадении лицевой стороны — по мере того как мы продолжаем бросание — непрерывно стремится к пределу 1/2, то это не уполномочивает нас делать предположение, что таковым действительно стал бы этот предел, если бы мы смогли сделать нашу последовательность бросаний бесконечной. Может, например, быть, что если n есть число бросаний, то пропорция выпадении лицевой стороны приближается не строго к 1/2, а к где N есть число гораздо большее, чем то, которого мы можем достичь в действительном эксперименте. В этом случае наши индукции становились бы эмпирически фальсифицированными как раз тогда, когда мы думали бы, что они прочно установлены. Или опять-таки с любой эмпирической последовательностью могло бы случиться, что через некоторое время она перестала бы подчиняться закону и перестала бы в каком бы то ни было смысл стремиться к пределу. Если в таком случае вышеприведенное распространение нашего определения на бесконечные последовательности нужно применить к эмпирическим последовательностям, то мы должны будем ввести какую-то индуктивную аксиому. Без этого нет основания ожидать, что более поздние части такой последовательности будут продолжать подчиняться тому закону, которому подчиняются более ранние ее части.