Человеческое познание его сферы и границы

Второе соображение в пользу его теории — то, что она применима как раз к тем случаям, в которых мы хотим воспользоваться аргументами вероятности. Мы испытываем желание воспользоваться этими аргументами, когда имеем некоторые данные, касающиеся определенного будущего события, но которых недостаточно, чтобы определить его характер в некотором интересующем нас отношении. Моя смерть, например, является событием будущего, и если я страхую свою жизнь, то я могу испытывать желание узнать, какое существует свидетельство, касающееся вероятности его осуществления в том или ином данном году. В таком случае мы всегда имеем некоторое число индивидуальных фактов, записанных в виде последовательности, и предполагаем, что частоты, обнаруженные до сих пор, будут более или менее продолжать оставаться такими же. Или возьмем азартную игру, в которой и возник весь этот вопрос. Мы не интересуемся тем простым фактом, что имеется 36 возможных результатов бросаний с двумя костями. Мы интересуемся тем фактом (если это факт), что на протяжении длинной последовательности бросаний каждая из 36 возможностей будет осуществляться приблизительно одинаковое число раз. Этот факт не вытекает из одного лишь существования 36 возможностей. Когда вы встречаете незнакомого человека, есть только две возможности: одна та, что его зовут Эбинизер Уилкс Смит, другая — что его зовут не так. Но на протяжении долгой жизни, в течение которой я встретил множество незнакомых людей, я только один раз столкнулся с реализацией первой возможности. Чисто математическая теория, которая только перечисляет возможные случаи, лишена практического интереса, если мы не знаем, что каждый возможный случай осуществляется приблизительно с одинаковой или с какой-то известной частотой. А это, если мы рассматриваем не логическую схему, а события, может быть известным только через действительную статистику, использование которой — как я сказал бы — должно идти более или менее в соответствии с теорией Рейхенбаха.

И этот аргумент я принимаю предварительно; он будет исследован заново, когда мы придем к рассмотрению индукции.

Есть совершенно другого рода возражение против теории Рейхенбаха в его собственной формулировке, и это возражение относится к ее введению последовательностей там, где, по-видимому, только классы логически значимы. Возьмем пример: каков шанс, что выбранное наудачу целое число окажется простым? Если мы возьмем целые числа в порядке их следования в натуральном ряде, то шанс, в соответствии с его определением, равен нулю; так как если n есть целое число, то число простых чисел, меньших или равных n, есть приблизительно n /(In n), если n — большое, так что шанс, что целое число, меньшее, чем n, будет простым числом, стремится к n /(In n), а предел 1/(1п n), поскольку n безгранично увеличивается, равен нулю. Но теперь допустим, что мы расставим целые числа в следующем порядке: поставим сначала первые 9 простых чисел, затем первое число, не являющееся простым, затем 9 простых, а затем второе число, не являющееся простым, и так далее до бесконечности. Когда целые числа расставлены в этом порядке, определение Рейхенбаха показывает, что шанс того, что выбранное наудачу число будет простым, равен 9/10. Мы могли бы даже расставить целые числа так, чтобы шанс того, что выбранное число не будет простым, стал равен нулю. Чтобы получить этот результат, начнем с первого непростого числа, то есть с 4, и поставим после n-го числа, не являющегося простым, n простых чисел, следующих после уже поставленных; эта последовательность начинается следующим образом: 4, 1, 6, 2, 3, 8, 5, 7, 11, 9, 13, 17, 19, 23, 10, 29, 31, 37, 41, 43, 12… В этой расстановке перед (n +1) — м непростым будет n непростых и 1/2n (n +1) простых; таким образом, по мере того как n возрастает, отношение числа непростых к числу простых приближается к 0 как пределу.

Из этого примера ясно, что если принять определение Рейхенбаха, то при данном любом классе А, имеющем столько же членов, сколько есть натуральных чисел, и при данном любом бесконечном подклассе В шанс, что выбранное наудачу А будет В, равен любому числу между 0 и 1 (включая и то и другое) в соответствии со способом, который мы избираем для распределения членов В среди А.

Из этого следует, что если вероятность должна применяться к бесконечным совокупностям, она должна применяться не к классам, а к последовательностям. Это кажется странным.